Serie di funzioni... Mi aiutate con il limite, per favore?

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~Mihaela~13

27 mag 2010, 22:23

Ho la seguente serie:
$\sum_{n=1}^oo (logn/(n * 2^n)) * (x - 1)^n $

Per trovare il raggio di convergenza ho provato ad applicare il teorema di D'Alembert.
$ lim_(n -> oo) |a_(n+1)/a_n| = λ$ dove il raggio di convergenza $r=1/λ$

(Comunque, ho avuto difficoltà anche usando Cauchy)

Quindi il limite diventa:
$ lim_(n -> oo) |(log(n + 1) * n * 2^n)/ ((n + 1) * 2^(n+1) * logn )| $

ed ho ottenuto:
$ lim_(n -> oo) 1/2 * (log(n + 1) * n)/ ((n + 1) * logn ) $

che ho pensato di scrivere sotto quest'altra forma:
$ lim_(n -> oo) 1/2 * ((n+1)/n)*(log(n + 1)/ (logn )) $

e cioè:
$ lim_(n -> oo) 1/2 *(log(n + 1)/ (logn )) $

Mi sembra di non aver commesso errori fin'ora... ma mi blocca il rapporto fra logaritmi...

Ho pensato che $ log(n + 1)$ e $ (logn )$ fossero infiniti dello stesso ordine e il loro rapporto fosse costante...
Qualcuno può dirmi se è corretto e come devo comportarmi in questo caso?
Cioè, posso dire che il raggio di convergenza $r= 2/C$ dove $C$ è costante? E che significa?
Che l'intervallo in cui la serie converge totalmente è aperto (perchè non so individuare la costante)?

[xdom="gugo82"]Un avatar 600x401!?!

Scusa ~Mihaela~, ma ti sei mai presa la briga di leggere attentamente il regolamento (cfr. 2.3)?[/xdom]

Risposte

~Mihaela~13

27 mag 2010, 21:24

sì, ma non ho controllato l'immagine... e poi la mostrava comunque piccola...
mi dispiace

gugo82

27 mag 2010, 21:33

[OT, sulla dimensione degli avatar]

Il problema, come spiegato da qualche parte in Il nostro forum (se non sbaglio), è che il ridimensionamento automatico degli avatar non funziona a dovere; quindi, come è capitato a me nel caso della tua stupenda farfalla, può succedere che chi apre un thread si ritrovi lo schermo invaso dall'avatar di chi ha postato prima di lui.
Perciò è imposta quella condizione sulla dimensione massima delle immagini.
Ecco tutto.

[/OT]

Per quanto riguarda il rapporto dei logaritmi, è un trucco da Analisi I scrivere il tutto come segue:

[tex]$\frac{\ln (n+1)}{\ln n} =\frac{\ln n \left( 1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n} =\frac{\ln n +\ln \left( 1+\frac{1}{n}\right)}{\ln n}$[/tex]

e risolvere il limite in un batter d'occhio.