[Serie di funzioni] Esercizio da 30 secondi
Flash: trovare dove converge uniformemente
\[ \sum_{n=1}^{\infty} f_n = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \sin {\frac{x}{n^4}}\]
\(f_n\) definita su tutto \(\mathbb{R}\); per ogni \(x\) fissato, \(x/n^4\) e' infinitesimo, allora
\[f_n(x) \sim n^2 \cdot \frac{x}{n^4}\]
allora converge puntualmente su tutto \(\mathbb{R}\).
Uniformemente?
\[\|f_n\|_{\infty, \mathbb{R}} \equiv \|f_n\|_{\infty, [0,+\infty)} \equiv
n^2 \cdot \sup_{x \in [0,+\infty)} \left| \sin {\frac{x}{n^4}} \right| = n^2 \cdot 1 \not\to 0\]
Tuttavia, se \(a\), \(b\) e \(c\) sono tre numeri tali che
\[-\pi /2 < a < b < \pi /2\]
\[c := \max \{ |\sin (a)|,\,|\sin (b)|\}\]
allora
\[\|f_n\|_{\infty,[a,b]} = n^2 \cdot \sin \frac{c}{n^4} \sim \frac{c}{n^2} \to 0\]
Quindi \(\sum f_n\) converge uniformemente solo \([a,b]\), con \(a\), \(b\) definiti come sopra -o su intervalli `cugini` \([a + 2k \pi, b + 2k \pi]\).
Funziona?
Vi ringrazio per la pazienza
\[ \sum_{n=1}^{\infty} f_n = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \sin {\frac{x}{n^4}}\]
\(f_n\) definita su tutto \(\mathbb{R}\); per ogni \(x\) fissato, \(x/n^4\) e' infinitesimo, allora
\[f_n(x) \sim n^2 \cdot \frac{x}{n^4}\]
allora converge puntualmente su tutto \(\mathbb{R}\).
Uniformemente?
\[\|f_n\|_{\infty, \mathbb{R}} \equiv \|f_n\|_{\infty, [0,+\infty)} \equiv
n^2 \cdot \sup_{x \in [0,+\infty)} \left| \sin {\frac{x}{n^4}} \right| = n^2 \cdot 1 \not\to 0\]
Tuttavia, se \(a\), \(b\) e \(c\) sono tre numeri tali che
\[-\pi /2 < a < b < \pi /2\]
\[c := \max \{ |\sin (a)|,\,|\sin (b)|\}\]
allora
\[\|f_n\|_{\infty,[a,b]} = n^2 \cdot \sin \frac{c}{n^4} \sim \frac{c}{n^2} \to 0\]
Quindi \(\sum f_n\) converge uniformemente solo \([a,b]\), con \(a\), \(b\) definiti come sopra -o su intervalli `cugini` \([a + 2k \pi, b + 2k \pi]\).
Funziona?
Vi ringrazio per la pazienza
Risposte
A me torna,ma mi sembra potenzialmente restrittivo:
hai addirittura convergenza totale in ogni intervallo limitato
(pur essendo vero che si salvano capre e cavoli osservando che ognuno di questi ultimi è contenuto in qualcuno di quelli che chiami "cugini"..)!
Saluti dal web.
hai addirittura convergenza totale in ogni intervallo limitato
(pur essendo vero che si salvano capre e cavoli osservando che ognuno di questi ultimi è contenuto in qualcuno di quelli che chiami "cugini"..)!
Saluti dal web.
scusa ma come fai a dire che il seno è equivalente a $x/n^4$ ma ragionate sul fatto che siccome il seno oscilla tra $1$ e $-1$ allora se io prendendo $x/n^4$ non fa altro che assumere gli stessi valori poiché si tratta di una funzione decrescente?
"blake":
scusa ma come fai a dire che il seno è equivalente a $x/n^4$ ma ragionate sul fatto che siccome il seno oscilla tra $1$ e $-1$ allora se io prendendo $x/n^4$ non fa altro che assumere gli stessi valori poiché si tratta di una funzione decrescente?
Non ho capito, scusa ...
tu hai detto che la tua serie è $n^2*sin(x/n^4)$ e hai definito che il $sen(x/n^4)$ è equivalente a scrivere $x/n^4$ ma su cosa definisci questa equivalenza?
ps. perdonami forse non ho capito bene gli infinitesimi come funzionano me lo spieghi perfavore?
ps. perdonami forse non ho capito bene gli infinitesimi come funzionano me lo spieghi perfavore?
Quindi, non stai parlando piu' dell'esercizio ...?
\(x\) e' una qualsiasi costante.
Vale
\[\sin{\varepsilon_n} = \varepsilon_n + o(1/n)\]
Vedi qui.
Con quell'equivalenza intendo una cosa precisa, i.e. \(\frac{\sin{\ldots}}{\ldots} \to 1\).
Ma adesso stiamo andando OT.
"blake":
tu hai detto che la tua serie è $n^2*sin(x/n^4)$ e hai definito che il $sen(x/n^4)$ è equivalente a scrivere $x/n^4$ ma su cosa definisci questa equivalenza?
\(x\) e' una qualsiasi costante.
Vale
\[\sin{\varepsilon_n} = \varepsilon_n + o(1/n)\]
Vedi qui.
Con quell'equivalenza intendo una cosa precisa, i.e. \(\frac{\sin{\ldots}}{\ldots} \to 1\).
Ma adesso stiamo andando OT.
cioè tu hai fatto l'equivalenza gia pensando che il seno usando la formula di maclaurin si sarebbe trasformata in quel modo?
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