Serie di funzioni

[gbspeedy]

posso vedere $sum_(n=1)^(+oo) x^(n!)$ come serie di potenze $sum_(n=1)^(+oo) (x^((n-1)!))^n $ con raggio di convergenza 1?

[gugo82]

No.

L'argomento delle potenze non può dipendere dall'indice di somma.

[gbspeedy]

allora fissato x posso usare il criterio della radice e trovare che converge puntualmente per $|x|<1$.
per la convergenza uniforme $AA M>0$ se considero I=[-1+M,1-M] ho convergenza totale perchè sup$_I|x|^(n!)=|1-M|^(n!)$ (termine generale serie convergente)

[gugo82]

Certo, quindi la serie converge uniformemente sui compatti di \(]-1,1[\).

[gbspeedy]

la serie $sum_(n=0)^(+oo) n^x x^n $ posso vederla come serie di funzioni con raggio di convergenza 1?

[Seneca1]

Riesci a metterla nella forma $\sum_(n = 0)^(+oo) a_n x^n$?

[gbspeedy]

no perchè n dipende da x.
posso studiarne la convergenza assoluta e con il criterio del rapporto trovare che è verificata per $x in (-1,1)$.
se poi studio a parte gli estremi per $x=-1$ ho una serie a segni alternati che converge per Leibniz.
quindi l'insieme di convergenza puntuale è $[-1,1)$

[gbspeedy]

per la convergenza uniforme:studio la convergenza totale
per $x in (0,1)$ ho calcolato $f'_n(x)$ e trovato che è $>0$ per $x> -n/(log n)$( numero negativo). $f_n(x)$ sono crescenti e sup $n^x x^n=n$ (termine generale serie divergente)
quindi ho ristretto lo studio a (0,M], 0 per x<0 ho trovato un punto di massimo in $x=(-n)/(log n)$ che è per $n>=2$ minore di -1 e quindi $f'_n(x)$ è decrescente in (-1,0).restringo in [-M,0) 0 quindi ho convergenza totale e uniforme nei compatti [-M,M] con 0

Cita

Segnala

[gbspeedy]

questa serie non so come trattarla
$sum_(n=2)^(+oo) (-1)^n n log((x^n)/(n(n-1)^2))$
per l'esistenza del logaritmo x deve essere >0

[gbspeedy]

$sum_(n=1)^(+oo) (pi/2-arctan(nx))^n=sum_(n=1)^(+oo) (arctan(1/(nx)))^n$
ho verificato la convergenza puntuale $AA x!=0$
per la convergenza uniforme dovrei calcolare sup $|(arctan (1/(nx)))^n|$
ho calcolato $f'_n(x)$ e verificato che è negativo per x>0 e quindi le $f_n(x)$ sono decrescenti
quindi il sup$_[M,0) |(arctan (1/(nx)))^n|= (arctan (1/(nM)))^n$ termine generale serie convergente
per x<0 la derivata prima è positiva e ho convergenza totale in $(-oo,-M] $ M>0
quindi la mia serie converge in $(-oo,M] U [M,+oo) $ M>0

[xdom="gugo82"]Chiudo fino a domani.

@gbspeedy: Vediamo se impari una buona volta ad usare il tasto Modifica...[/xdom]

[xdom="gugo82"]Riaperto.[/xdom]