Serie di Funzioni

[Nuki1]

Buongiorno a tutti,
ho un dubbio su una serie di funzione che probabilmente mi verrà chiesta all'orale di analisi.

>>Stabilire per quali x in R converge la seguente somma
>>Calcolarne la somma

$ sum_(n=2)^(+oo ) (1+1/x)^n $

Io risolverei in questo modo:

>>Essendo la serie geometrica generale:

$ sum_(n = 0)^(oo) q^n $ in questo caso q è $ q=1+1/x $

Quindi la serie converge per $ |1+1/x|<1 $

>>per calcolare la somma visto che la formula per la geometrica è:

$ q^n/(1-q) $ con n che parte da 2, quindì:

$ (1+1/x)^2/(1-(1+1/x)) $

Grazie per l attenzione.

[Nuki1]

nessuno ha idea?

[Sk_Anonymous]

Mi sembrano delle osservazioni abbastanza pertinenti, quelle che hai fatto. Ovviamente se \(\displaystyle x>0 \) la serie non converge perché si riduce ad una somma di termini tutti maggiori di \(\displaystyle 1 \). Se \(\displaystyle x<0 \) allora \(\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{x} \right)<1 \), e quindi \(\displaystyle \sum_{k=2}^{n} \left( 1 +\frac{1}{x} \right)^{k}=\sum_{k=0}^{n} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{k} - 1 - \left(1 + \frac{1}{x} \right)=\frac{1 - \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{n+1}}{1 - \left(1 + \frac{1}{x} \right)} - 2 - \frac{1}{x} \), e passando al limite...