Serie di funzioni

[xyz34567]

Buongiorno, stavo provando a risolvere il seguente esercizio:
TESTO:
Data:

[math]f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{x}}{n^2 + x^2}[/math]

(a) Discutere la continuità e la derivabilità di ƒ nei singoli punti di R.
(b)Stabilire se f è integrabile (in senso improprio) su (-∞, +∞).
Alla domanda a ho risposto studiando la convergenza uniforme della serie e di quella derivata.
Vorrei però sapere una cosa: essendo essa una condizione sufficente se non è verificata come posso fare a studiare la continuità della funzione somma della serie?
Per quanto riguarda la domanda b, si può notare che per x->+oo fn(x) è asintotica a una costante rispetto a n, dunque la serie diverge e di conseguenza anche il suo integrale.
Tale ragionamento può essere formalizzato minorando l'argomento in un intervallo [d,+oo) (con d arbitrariamente grande) usando gli sviluppi di Taylor con resto di Lagrange (dopo aver notato che per x grande la serie è a termini positivi), dunque la serie non è integrabile in R.
Per quanto riguarda questo secondo punto vorrei però sapere se in generale esista un metodo più rapido o delle disuguaglianze che mediamente possano essere utili.
Grazie mille e buona giornata!