Serie di funzioni
sapete trovarmi la somma della serie di funzioni
somma(da uno a + infinito) di cos(x*logn)/(n^2) con o senza software?
Grazie!!
somma(da uno a + infinito) di cos(x*logn)/(n^2) con o senza software?
Grazie!!
Risposte
Ciao sifusi,
Se la serie di funzioni proposta è
$\sum_{n = 1}^{+\infty} cos(x ln(n))/n^2 $
per la somma mi riservo di pensarci un altro po' anche se non credo, ma di certo $\forall x \in \RR $ si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} |cos(x ln(n))/n^2| \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Se la serie di funzioni proposta è
$\sum_{n = 1}^{+\infty} cos(x ln(n))/n^2 $
$\sum_{n = 1}^{+\infty} cos(x ln(n))/n^2 $
per la somma mi riservo di pensarci un altro po' anche se non credo, ma di certo $\forall x \in \RR $ si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} |cos(x ln(n))/n^2| \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Supponendo di poter fare tutti i passaggi che farò, si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{cos(x \cdot ln(n))}{n^2} = \text{Re}[\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{e^{i x ln(n)}}{n^2}] = \text{Re}[\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{n^{i x}}{n^2}] = \text{Re}[\zeta(2 - i x)] = \frac{\zeta(2 - i x) + \zeta^{\star}(2 - i x)}{2}$
ove $\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^s} $ è la funzione zeta di Riemann.
$\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{cos(x \cdot ln(n))}{n^2} = \text{Re}[\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{e^{i x ln(n)}}{n^2}] = \text{Re}[\sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{n^{i x}}{n^2}] = \text{Re}[\zeta(2 - i x)] = \frac{\zeta(2 - i x) + \zeta^{\star}(2 - i x)}{2}$
ove $\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{+\infty}\frac{1}{n^s} $ è la funzione zeta di Riemann.
@piloeffe correggimi se sbaglio, ma la zeta di Riemann, dovrebbe coincidere con la serie in questione, solo quando la parte reale di "s" è strettamente maggiore di 1, altrimenti dovresti fare un prolungamento, che mi sembra un po' diversa come cosa.
Edit: scusa, ho visto solo ora che x, sta in $\mathbb{R}$. Allora mi sembra tutto in regola, anche perchè i passaggi dovrebbero essere giustificati da linearità e continuità di $Re$ e dalla convergenza di quella roba.
Edit: scusa, ho visto solo ora che x, sta in $\mathbb{R}$. Allora mi sembra tutto in regola, anche perchè i passaggi dovrebbero essere giustificati da linearità e continuità di $Re$ e dalla convergenza di quella roba.
grazie della risposta ma a me serve una funzione somma che non sia a sua volta una serie di cui non so calcolare la somma come quella di Riemann. Ho provato sviluppando l'argomento della serie con l'integrale di Fourier(considerando n costante) per poi applicare lo scambio tra serie e integrale ma ho trovato difficoltà
Se ci riuscite fatemelo sapere!!
Se ci riuscite fatemelo sapere!!
C'è qualcosa che ti faccia pensare che effettivamente la somma ti dia una funzione esprimibile in termini di funzioni elementari? Da dove nasce il problema?
.
ma non è ancora una forma chiusa!!!
"sifusi":La forma chiusa ti è stata data: \(\Re(\zeta(2-ix))\). Non ne esiste un'altra.
ma non è ancora una forma chiusa!!!
per forma chiusa intendo la somma della serie di funzioni eventualmente trovata con la definizione tradizionale ,per esempio adoperando qualche artificio ( serie telescopica o altro....)
"sifusi":E' esattamente quello che ti è stato dato.
per forma chiusa intendo la somma della serie di funzioni eventualmente trovata con la definizione tradizionale ,per esempio adoperando qualche artificio ( serie telescopica o altro....)
"mklplo":
la parte reale di "s" è strettamente maggiore di 1
In effetti se supponiamo che $x$ possa essere complesso (anche se non è stato specificato dall'OP), cioè si possa scrivere $x = a + ib $, allora $2 - ix = 2 - ia + b = b + 2 - ia $ e quindi si avrebbe la condizione $b + 2 > 1 \iff b + 1 > 0 \iff \text{Im}(x) + 1 > 0 $ che è la condizione che scrive anche WolframAlpha (eccola qui), che è automaticamente soddisfatta se $x \in \RR $: infatti in tal caso la sua parte immaginaria sarebbe nulla e si avrebbe la condizione $0 + 1 > 0 $, che è sempre verificata.
grazie della risposta sellacollesella, ma potresti spiegarmi i passaggi dal secondo al terzo membro?
per forma chiusa intendo una funzione somma del tipo Re(z)=Acos(xB) infatti come suggeriscono le somme parziali si dovrebbe proprio avere una funzione di questo tipo come somma!! non capisco come ricavare una forma del genere dal terzo membro !!!
scusate ho scritto male la somma deve essere del tipo Re(z)=Acos(xB)!!! infatti faciendo il limite per n che tende a infinito delle somme parziali deve venire una cosa del genere!!!
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"sifusi":Ti è stata data esattamente questo tipo di risposta, sei tu che non lo capisci.
per forma chiusa intendo una funzione somma del tipo Re(z)=Acos(xB) infatti come suggeriscono le somme parziali si dovrebbe proprio avere una funzione di questo tipo come somma!! non capisco come ricavare una forma del genere dal terzo membro !!!
"pilloeffe":
[quote="mklplo"]la parte reale di "s" è strettamente maggiore di 1
In effetti se supponiamo che $x$ possa essere complesso (anche se non è stato specificato dall'OP), cioè si possa scrivere $x = a + ib $, allora $2 - ix = 2 - ia + b = b + 2 - ia $ e quindi si avrebbe la condizione $b + 2 > 1 \iff b + 1 > 0 \iff \text{Im}(x) + 1 > 0 $ che è la condizione che scrive anche WolframAlpha (eccola qui), che è automaticamente soddisfatta se $x \in \RR $: infatti in tal caso la sua parte immaginaria sarebbe nulla e si avrebbe la condizione $0 + 1 > 0 $, che è sempre verificata.[/quote]
Sì, infatti mi sono corretto. Scusa, per un istante avevo pensato al caso generale.
"sifusi":
per forma chiusa intendo una funzione somma del tipo Re(z)=Acos(xB) infatti come suggeriscono le somme parziali si dovrebbe proprio avere una funzione di questo tipo come somma!! non capisco come ricavare una forma del genere dal terzo membro !!!
Non ho capito...cioè, il fatto che ogni numero complesso $z$ si scrive come $r(cos(\theta)+i*sin(\theta))$ e quindi $Re(z)=r*cos(\theta)$, non c'entra nulla con la somma su cui stai lavorando. Al massimo dici che la somma è una funzione $f(z)$ tale che $Re(f(z))=Acos(xB)$, tuttavia, mi chiedo cosa te lo faccia pensare. In generale, serie di seni e coseni possono portare a un po' di tutto, basti pensare alle serie di Fourier.
me lo fa pensare il limite per k che tende a infinito delle somme parziali che penso sia del tipo limite per k che tende a infinito di A(k)cos(xB(k))
secondo te qual è la forma della somma di $f(x)=\frac{\oi^2}{3}+4 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}cos(nx)$?
Che tu ci creda o no (salvo i coefficienti che potrei aver sbagliato a calcolare), la funzione a cui tende è la funzione periodica che in $[-\pi,pi]$ ha il grafico di $x^2$.
Il punto è che quando hai serie, puoi avere cose molto strane.
Che tu ci creda o no (salvo i coefficienti che potrei aver sbagliato a calcolare), la funzione a cui tende è la funzione periodica che in $[-\pi,pi]$ ha il grafico di $x^2$.
Il punto è che quando hai serie, puoi avere cose molto strane.
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