Serie di funzioni

[Cenzin1]

Salve a tutti, ho un problema con questa serie di funzioni.

$\sum_{n=0}^infty ((n)/(2n-3))*(sqrt(2x+1))^n $

Mi sono ricondotto a una serie di potenze ponendo $sqrt(2x+1)$=y.
Ho applicato D'Alembert e ho trovato raggio di convergenza pari a 1.
Quindi la serie converge assolutamente per |$sqrt(2x+1)$|<1 che ho risolto con il seguente sistema:

$\{(1>0),(|2x+1|<1):}$ da cui ho trovato -1
Quando vado a verificare l'inclusione degli estremi, per x=-1 mi viene la radice negativa. Allora vuol dire che quell'estremo non è incluso?
grazie anticipatamente.

[IlPolloDiGödel]

Hai dimenticato il dominio della radice. Se lo calcoli ti viene $x >= -1/2$, quindi il problema a -1 non si pone proprio, essendo fuori dal dominio quindi l'insieme di convergenza è $[-1/2,0)$
Aggiungendo questo pezzo è giusto. Ho solo il dubbio se sia legittimo o meno passare così spudoratamente ad una serie di potenze, ma non vedo motivi per i quali non si possa fare, quindi penso sia giusto

[Cenzin1]

ti ringrazio per la risposta. Sì in effetti all'inizio così l'avevo fatto però poi confrontandomi con wolfram, come risultato di

|$sqrt(2x+1)$|<1, mi restituisce -1
Quindi, a questo punto, il problema rimane questo...da cui dipende poi il resto dell'esercizio.

[dissonance]

"Cenzin":
|$sqrt(2x+1)$|<1, mi restituisce -1
Ma dai, non dire bestialità. Se mi posso permettere un suggerimento, usa un po' meno Wolfram Alpha e un po' di più il tuo ragionamento. Tu sostanzialmente stai dicendo che
\[
\sqrt{|2x+1|}=|\sqrt{2x+1}|.\]
Se ti viene in mente una cosa del genere, prima di continuare, guardala bene e riflettici un attimo su. Cosa succede se \(x=-1\), per esempio? Succede che il termine a destra non esiste mentre quello di sinistra vale \(1\). Questo basta a dimostrare che l'identità non può essere vera per ogni \(x\) reale.

Come dico sempre, in questi casi non è "colpa" di Wolfram Alpha o di nessun software di calcolo. Chi ha progettato questi software parte dal presupposto che l'utente sappia cosa sta facendo.