Serie di funzioni

[Frink1]

Ciao a tutti!

Nell'ultimo periodo abbiamo parlato delle serie di funzioni, e ho qualche problema perché non posso applicare le definizioni per convergenza uniforme come nelle semplici successioni di funzioni. Ma facciamo un esempio:

$ sum_(n = 0)^oo(2^n*sin(x/3^n)) $

Ho cercato l'insieme di convergenza puntuale, accorgendomi (almeno credo) che per ciascun $x$ fissato $ 2^n*sin(x/3^n) <=2^n*1/3^n=(2/3)^n $, la cui somma converge a $3$. Sbaglio? Probabilmente, ma non capisco dove.

Per quanto riguarda la convergenza uniforme mi è stato consigliato (non per questo esercizio in particolare) di utilizzare il criterio di Weierstrass, ma non capisco né come né quando utilizzarlo bene, e soprattutto l'insieme di definizione su cui applicarlo.

Ringrazio tutti in anticipo!

[Frink1]

Ok, credo di avere un paio di correzioni da fare:

$ 2^nsin(x/3^n)~_oo2^nx/3^n=(2/3)^nx $ e quindi $ sum_(n = 0)^oo(2/3)^nx=xsum_(n = 0)^oo(2/3)^n=3x $. Mi sembra ancor meno corretta della precedente, se possibile...

Ho le idee confuse, non so come portare avanti lo studio...

[Frink1]

Giacché ho aperto il topic, mi permetto di chiedere anche questa:

$ sum_(n = 0)^(oo)(n^2x^n)/(n!)=sum_(n = 1)^(oo)(n^2x^n)/(n!)=sum_(n = 1)^(oo)(nx^n)/((n-1)!)=sum_(k = 0)^(oo)((k+1)x^(k+1))/(k!)=sum_(k = 1)^(oo)((k+1)x^(k+1))/(k!)+x=sum_(k = 1)^(oo)(kx^(k+1))/(k!)+sum_(k = 1)^(oo)(1*x^(k+1))/(k!)+x= sum_(k = 1)^(oo)(x^(k+1))/((k-1)!)+x*sum_(k = 1)^(oo)(x^(k))/(k!)+x=x^2*sum_(k = 1)^(oo)(x^(k-1))/((k-1)!)+x*sum_(j = 0)^(oo)(x^(j+1))/((j+1)!)+x=x^2*sum_(j=0)^(oo)x^j/(j!)+x*(e^x-1)+x=x^2*e^x+x(e^x-1)+x=xe^x(x+1) $


E' corretta?