Serie di Funzione
Buonasera!
La seguente serie di funzioni:
$\sum_{n=1}^(+oo) x^(2n)e^(-2nx)n/(n^2+4)$
posso trattarla come una serie di potenze? In caso contrario come posso procedere?
Grazie in anticipo!
La seguente serie di funzioni:
$\sum_{n=1}^(+oo) x^(2n)e^(-2nx)n/(n^2+4)$
posso trattarla come una serie di potenze? In caso contrario come posso procedere?
Grazie in anticipo!
Risposte
Certo.
Infatti, quella è una serie riconducibile ad una serie di potenze con un'appropriata sostituzione.
Infatti, quella è una serie riconducibile ad una serie di potenze con un'appropriata sostituzione.
Quindi sostituisco $(x/e^x)^(2) = t $
Il raggio è uguale a 1 quindi avrò che \(\displaystyle -1
segue che $-1< (x/e^x)^(2) < 1 $ di conseguenza $0
Come trovo le x?
Il raggio è uguale a 1 quindi avrò che \(\displaystyle -1
segue che $-1< (x/e^x)^(2) < 1 $ di conseguenza $0
Come trovo le x?
Le \(x\) che ti interessano sono quelle che risolvono il sistema:
\[
\begin{cases}
x>-e^x\\
x
\]
La seconda disequazione è sempre verificata: infatti, essendo \(e^x\) convessa, si ha \(e^x\geq x+1 >x\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\); dunque le soluzioni del tuo sistema coincidono con quelle della sola disequazione \(x>-e^x\).
L'ultima disequazione si risolve col metodo grafico (perché non c'è alcun metodo analitico che possa condurti ad una soluzione esatta).
Diagrammando i grafici delle funzioni \(f(x)=x\) e \(g(x)=-e^x\):
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; plot("x");
stroke="dodgerblue"; plot("-exp(x)");[/asvg]
si vede che esiste un unico punto \(\xi \in ]-1,0[\) tale che il grafico di \(f\) sta sopra a quello di \(g\) per ogni \(x>\xi\).
Tale punto è determinabile in maniera approssimata usando un algoritmo numerico a tua scelta e si trova \(\xi \approx -0.5671\).
Quindi l'insieme di convergenza della serie è \(x>\xi \approx -0.5671\).
\[
\begin{cases}
x>-e^x\\
x
\]
La seconda disequazione è sempre verificata: infatti, essendo \(e^x\) convessa, si ha \(e^x\geq x+1 >x\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\); dunque le soluzioni del tuo sistema coincidono con quelle della sola disequazione \(x>-e^x\).
L'ultima disequazione si risolve col metodo grafico (perché non c'è alcun metodo analitico che possa condurti ad una soluzione esatta).
Diagrammando i grafici delle funzioni \(f(x)=x\) e \(g(x)=-e^x\):
[asvg]xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; plot("x");
stroke="dodgerblue"; plot("-exp(x)");[/asvg]
si vede che esiste un unico punto \(\xi \in ]-1,0[\) tale che il grafico di \(f\) sta sopra a quello di \(g\) per ogni \(x>\xi\).
Tale punto è determinabile in maniera approssimata usando un algoritmo numerico a tua scelta e si trova \(\xi \approx -0.5671\).
Quindi l'insieme di convergenza della serie è \(x>\xi \approx -0.5671\).
Grazie tante sei stato chiarissimo! 
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