Serie di fourier/ /spazi di Hilbert

[lorè91]

http://i47.tinypic.com/15xsgg3.png

ciao, vi posto un appello vecchio di metodi matematici.
Purtroppo tro trovando grandi difficoltà specialemte nella prima parte degli spazi di Hilbert.
Credo di avere più o meno capito come fare fino allo sviluppo di fourier
( non è che mi potete scrivere quanto vi dà la matrice rappresentativa, il nucleo e l'immagine , così posso vedere se ho fatto giusto?)
invece per la parte dello sviluupo di fourier, ho provato a scrivere lo sviluppo in serie trigonometrica ma mi lascia perplessa l'$x $tra o e pi greco ( devo usare lo svilluppo esponenziale o quello trigonometrico? mi potete fare vedere praticamente come procedere? ,purtroppo ho solo appelli non svolti .....). Cosa significa calolcolare $Tg$?
vi ringrazio anticipatamente dell'aiuto che potrete darmi

[Sk_Anonymous]

[xdom="speculor"]Sposto in Analisi.[/xdom]

[Sk_Anonymous]

$T(e^(ikx)/sqrt(2pi))=2/pi\int_{-pi}^{pi}sin[3/2(x+y)]cos[1/2(x-y)]e^(iky)/sqrt(2pi)dy rarr$

$rarr T(e^(ikx)/sqrt(2pi))=1/pi\int_{-pi}^{pi}[sin(2x+y)+sen(x+2y)]e^(iky)/sqrt(2pi)dy rarr$

$rarr T(e^(ikx)/sqrt(2pi))=1/(i(2pi)^(3/2))[e^(ix)\int_{-pi}^{pi}e^(i(k+2)y)dy+e^(2ix)\int_{-pi}^{pi}e^(i(k+1)y)dy-e^(-2ix)\int_{-pi}^{pi}e^(i(k-1)y)dy-e^(-ix)\int_{-pi}^{pi}e^(i(k-2)y)dy]$

$[k=-2] rarr [T(e^(-2ix)/sqrt(2pi))=1/(isqrt(2pi))e^(ix)]$

$[k=-1] rarr [T(e^(-ix)/sqrt(2pi))=1/(isqrt(2pi))e^(2ix)]$

$[k=1] rarr [T(e^(ix)/sqrt(2pi))=-1/(isqrt(2pi))e^(-2ix)]$

$[k=2] rarr [T(e^(2ix)/sqrt(2pi))=-1/(isqrt(2pi))e^(-ix)]$

$[k!=-2] ^^ [k!=-1] ^^ [k!=1] ^^ [k!=2] rarr [T(e^(ikx)/sqrt(2pi))=0]$

$[||T||=||a_(-2)/(isqrt(2pi))e^(ix)+a_(-1)/(isqrt(2pi))e^(2ix)-(a_1)/(isqrt(2pi))e^(-2ix)-(a_2)/(isqrt(2pi))e^(-ix)||] ^^[|a_(-2)|^2+|a_(-1)|^2+|a_1|^2+|a_2|^2=1] rarr$

$rarr [||T||=1]$

[lorè91]

ciao, grazie mille di avermi risposto.

Però non ho capito questo passaggio
$[||T||=||a_(-2)/(isqrt(2pi))e^(ix)+a_(-1)/(isqrt(2pi))e^(2ix)-(a_1)/(isqrt(2pi))e^(-2ix)-(a_2)/(isqrt(2pi))e^(-ix)||] ^^[|a_(-2)|^2+|a_(-1)|^2+|a_1|^2+|a_2|^2=1] rarr$

$rarr [||T||=1]$



e ho ancora dei dubbi su come fare fare lo sviluppo di fourier e come calcolare $Tg$.
Grazie mille ancora di cuore.

[lorè91]

ciao, qualcuno mi può aiutare per lo svilluppo di fourier e per calcolare $Tg$?
purtroppo sono dipserata perchè l'esame si avvicina e io ho ancora tanti dubbi...
vi ringrazio anticipatamente

[Sk_Anonymous]

Comincia a calcolare il seguente integrale:

$[a_k=\int_{-pi}^{pi}e^(ikx)/sqrt(2pi)f(x)dx] rarr [a_k=\int_{0}^{pi}e^(ikx)/sqrt(2pi)xdx]$

[lorè91]

ciao, avevo letto sul libro che serviva vedere se la funzione $f(x)$ fosse pari o dispari nel calcolo dell'integrale del coefficiente di fourier , però non ho capito bene perchè.grazie ancora

[Sk_Anonymous]

Se la funzione è pari, puoi sviluppare in serie utilizzando solo i coseni:

$\{(a_k=1/pi\int_{-pi}^{pi}cos(kx)f(x)dx),(b_k=1/pi\int_{-pi}^{pi}sin(kx)f(x)dx):} rarr \{(a_k=2/pi\int_{0}^{pi}cos(kx)f(x)dx),(b_k=0):}$

Viceversa, se la funzione è dispari, puoi sviluppare in serie utilizzando solo i seni:

$\{(a_k=1/pi\int_{-pi}^{pi}cos(kx)f(x)dx),(b_k=1/pi\int_{-pi}^{pi}sin(kx)f(x)dx):} rarr \{(a_k=0),(b_k=2/pi\int_{0}^{pi}sin(kx)f(x)xdx):}$

Tuttavia, essendo la tua funzione nè pari nè dispari, il problema non si pone. Inoltre, stai utilizzando la notazione più compatta con gli esponenziali, si tratta di calcolare l'unico integrale che ti ho indicato.

[lorè91]

ciao, avevo pensato che per calcolare $Tg$ potevo considerare $sum ckTek$ che avevo già calcolato, i $ck$ li calcolo con la serie di fourier . Ho fatto bene?
per l'integrale a me è venuto $e^(-ikx)/(-ik)*x-int 0 to pi e^(-ikx)/(-ikx)^$
però non so se l'ho fatto bene. Se mi potessi aiutare a scrivere la serie di fourier e o $Tg$, ti sarei veramente molto grata perchè non ho un trovato un esercizio simile svolto. Ti ringrazio ancora

[Sk_Anonymous]

Dopo aver calcolato i coefficienti della serie svolgendo quell'integrale, non mi sembra che tu lo stia svolgendo correttamente, basta applicare l'operatore e far sopravvivere solo le componenti non appartenenti al nucleo dell'operatore. Per quanto riguarda la norma, in giornata cerco di spiegare a parole il procedimento adottato. E se proprio non riesci con la serie, ti mostro tutti i passaggi. Nel frattempo chiudo la discussione che hai aperto sullo stesso argomento, il regolamento me lo impone. Spero non sia un problema.

[lorè91]

grazie mille

[Sk_Anonymous]

Se consideri lo sviluppo in serie di una funzione generica iniziale:

$[f(x)=\sum_{k=-oo}^{+oo}a_ke^(ikx)/sqrt(2pi)]$

puoi applicare la proprietà di linearità per determinare l'azione dell'operatore:

$[Tf(x)=\sum_{k=-oo}^{+oo}a_kTe^(ikx)/sqrt(2pi)]$

e, utilizzando i risultati precedenti, ottenere la funzione trasformata della funzione generica iniziale:

$[Tf(x)=a_(-2)/(isqrt(2pi))e^(ix)+a_(-1)/(isqrt(2pi))e^(2ix)-(a_1)/(isqrt(2pi))e^(-2ix)-(a_2)/(isqrt(2pi))e^(-ix)]$

Ora, secondo la definizione di norma di un operatore, si tratta di determinare l'estremo superiore della norma della funzione trasformata sotto l'ipotesi che la norma della funzione generica iniziale valga uno:

$[||T||=Sup||a_(-2)/(isqrt(2pi))e^(ix)+a_(-1)/(isqrt(2pi))e^(2ix)-(a_1)/(isqrt(2pi))e^(-2ix)-(a_2)/(isqrt(2pi))e^(-ix)||] ^^[\sum_{k=-oo}^{+oo}|a_k|=1] rarr$

$rarr [||T||=Sup(|a_(-2)|^2+|a_(-1)|^2+|a_1|^2+|a_2|^2)] ^^[\sum_{k=-oo}^{+oo}|a_k|=1]$

L'estremo superiore si ottiene proprio quando $[|a_(-2)|^2+|a_(-1)|^2+|a_1|^2+|a_2|^2=1]$, considerando cioè funzioni generiche iniziali che hanno componenti nulle rispetto alle funzioni di base appartenenti al nucleo dell'operatore. Infatti, solo in questo caso $[|a_(-2)|^2+|a_(-1)|^2+|a_1|^2+|a_2|^2=1]$, viceversa si otterrebbe un valore inferiore, dato che ad essere uguale a uno dovrebbe essere la somma di un numero maggiore di componenti e non solo di quelle quattro. In definitiva, $[||T||=1]$. Spero che tu riesca a cogliere la logica sottostante. Per quanto riguarda l'ultima parte dell'esercizio, hai provato a ricalcolare l'integrale di cui si è parlato poc'anzi?

[lorè91]

ciao, grazie mille di avermi risposto.
ho calcolato l'integrale e mi viene
=$ [- e^(-ikx) / (ik * rad(2pigreco))] * x - int. [- e^(-ikx) / (ik * rad(2pigreco))] * 1$
ho capito come calcolare $Tg$ ma non ho capito bene il meccanismo di come calcolare la norma...per esempio perchè si deve imporre che la norma della funzione generica dia 1?
inoltre io nell'esercizio della norma dell'operatore ho l'operatore $T$, verifico che è limitato, ma non devo calcolare los sviluppo di fourier, quindi come faccio a calcolare $a-2, a-1, a1 ,a2$ ? e a vericare quindi che $|a-2|^2+|a-1|^2 ....=1$, in particolare non ho capito perchè l'estremo superiore si ottiene proprio quando $|a-2|^2+|a-1|^2 +|a1|^2+|a2|^2=1$
grazie mille ancora dell'aiuto che mi stai dando

[Sk_Anonymous]

Ti allego questo stralcio:



Mi riferisco all'ultimo membro dell'ultima uguaglianza. Partendo da quella definizione, ho motivato a parole il resto della deduzione, mi sembrava sufficientemente chiaro. Dovresti rileggere con più attenzione, se proprio non riesci ti faccio un esempio ancora più concreto. Per quanto riguarda il calcolo di quell'integrale, ti ricordo che si tratta di un integrale definito. Dopo averlo svolto per parti, devi sostituire gli estremi d'integrazione.

[lorè91]

ciao, grazie di avermi risposto.
Credo di avere capito meglio ora la come trovare la norma, ma mi è venuto un dubbio:
non si poteva considerare anche il termine $1/sqrt(2pi)$ ? quindi la norma non doveva venire =$1/sqrt(2pi)$ ?
l'integrale mi viene $[- e^(-ik * 2 pigreco) / (ik * rad(2pigreco))] * 2pigreco - [ e^(-ik * 2pigreco) / (ik^2 * rad(2pigreco)] + 1/(ik^2 * rad(2pigreco))$ ,
ho letto che $e^(-ikx)=e^(ikx)$ e che questa quantità è uguale a $0$ se k è pari e -1 se k è dispari. E' giusto?
grazie ancora

[Sk_Anonymous]

No, perchè il fattore $[1/sqrt(2pi)]$ è già incluso nella base ortonormale $[e^(ikx)/sqrt(2pi)]$. Quindi:

$[||a_(-2)/(isqrt(2pi))e^(ix)+a_(-1)/(isqrt(2pi))e^(2ix)-(a_1)/(isqrt(2pi))e^(-2ix)-(a_2)/(isqrt(2pi))e^(-ix)||=|a_(-2)|^2+|a_(-1)|^2+|a_1|^2+|a_2|^2]$

Inoltre, $[e^(-ikx)=e^(ikx)]$ è in generale falsa. Tuttavia, quando $[x=+-pi]$, essi sono uguali e valgono $[1]$ per $[k]$ pari, $[-1]$ per $[k]$ dispari.

[lorè91]

ciao, grazie di avrmi risposto.
se invece di avere $1 /sqrt(2pi) $ avevo solo $pi$ il mio ragionamento poteva andare bene?

Svolgendo alcuni appelli d'esame mi è capitato di verificare se l'operatore fosse hermitiano.
a parte usare la definzione ( che mi sembra laboriosa) posso usare questo metodo che ho trovato?
prendo ad esempio il prodotto scalare fra $(Te0, e-1))$ e quello fra il coniugato $(Te0*,e1)$ . Verifico se sono uguali . Se sono uguali $T$ è hermitiano. Potrebbe andare bene come metodo per verificare che $T$ è hermitiano?
per quanto riguarda la serie di fourier non riesco sono riuscita a scriverla ...l'integrale andava bene?
grazie ancora

[Sk_Anonymous]

Più in generale:

$\{(e_(-2)=e^(-2ix)/sqrt(2pi)),(e_(-1)=e^(-ix)/sqrt(2pi)),(e_1=e^(ix)/sqrt(2pi)),(e_2=e^(2ix)/sqrt(2pi)):} rarr [||c_(-2)e_(-2)+c_(-1)e_(-1)+c_1e_1+c_2e_2||=|c_(-2)|^2+|c_(-1)|^2+|c_1|^2+|c_2|^2]$

Nel tuo caso:

$\{(c_(-2)=-a_1/i),(c_(-1)=-a_2/i),(c_1=a_(-2)/i),(c_2=a_(-1)/i):} rarr [|c_(-2)|^2+|c_(-1)|^2+|c_1|^2+|c_2|^2=|a_1|^2+|a_2|^2+|a_(-2)|^2+|a_(-1)|^2]$

Voglio dire, dipende dai coefficienti $[c_i]$ che compaiono nella combinazione lineare dei vettori appartenenti alla base ortonormale, è inutile fare un caso particolare. Spero sia più chiaro adesso. Per quanto riguarda quell'integrale:

$[a_k=\int_{-pi}^{pi}e^(ikx)/sqrt(2pi)f(x)dx] rarr [a_k=\int_{0}^{pi}e^(ikx)/sqrt(2pi)xdx] rarr [a_k=[(xe^(ikx))/(ik)+e^(ikx)/k^2]_0^pi] rarr$

$rarr [a_k=(pie^(ikpi))/(ik)+e^(ikpi)/k^2-1/k^2] rarr [a_k=(pi(-1)^k)/(ik)+(-1)^k/k^2-1/k^2]$

Non so se coincide con il tuo risultato, le tue formule sono poco chiare. Infine, a proposito degli operatori hermitiani, non mi sembra affatto che il tuo procedimento sia corretto. Sarebbe meglio vedere un esempio concreto.

[lorè91]

ciao,scusa se scrivo con ritardo ma ho avuto dei problemi ed inoltre la connessione non ha funzionato..
intanto ho riflettuto su come verificare se un operatore è hermitiano.
Intanto negli esercizi mi si chiede spesso di verificare che un operatore è invertibile (basta che il nucleo sia banale)
e su questo ho un dubbio: il nucleo è banale quando $Tf$ ( che riscrivo come $CkTek$ )è uguale a zero solo per $k=0$?giusto? altrimenti come faccio a vedere se il nucleo è banale?
un operatore è unitario se è invertibile e isometrico, se il nucleo è non banale allora l'operatore è non invertibile.
un operatore è hermitiano se $A+$=$A$
su questo punto ho tanti dubbi: per verificare l'hermitianità posso scrivere la matrice rappresentativa , poi fare la trasposta ed infine prendere la complessa coniugata? se alla fine la matrice è uguale a quella originaria $A$allora l'hermitianità è verificata. se io mi trovassi con una matrice come questa di sotto, non posso prendere la complessa coniugat, giusto? infatti gli elementi sono reali. Se io voglio scrivere gli autovalori e le autofunzioni posso procedere come ho imparato nei corsi di geometria? tra l'altro su questo ho un dubbio: sugli appunti leggo che il max autivalore corrisponde al valore della norma dell'operatore , se la base formata dagli autovettori è completa. E' giusto?

$[0, 1]$ $[1,0]$ ( non so come scrivere la matrice per cui i due vettori sono le die colonne , scrivo la trasposta , mi viene uguale quindi la matrice è hermitiana
se io invece ho $[0, pi/i] $ e $[-pi/i, 0]$ la trasposta è $[0,-pi/i] e $[pi/i,0] $ ( e in questo caso cambio anche il segno perchè devo avere la complessa coniugata e ritrovo la matrice di partenza. Ho verificato l'hermitianità. Ho fatto bene ?
ti ringrazio e mi scuso ancora per il ritardo con cui rispondo, purtroppo tra qualche giorno ho l'esame e sono disperata...

[lorè91]

ciao, qualcuno mi può aiutare? grazie a tutti

[Sk_Anonymous]

"silstar":
Un operatore è hermitiano se...

Sarebbe meglio sapere come il tuo docente ha affrontato l'argomento. In ogni modo, il seguente teorema potrebbe risultarti particolarmente utile:



Se vuoi sapere come è definito un operatore di Hilbert-Schmidt, dovresti leggere il paragrafo 10.2 della seguente risorsa, di cui l'immagine è uno stralcio: http://www2.kau.se/yourshes/integrkomp.pdf