Serie di Fourier - forma complessa
Salve a tutti, ho dei problemini nel capire di per se come utilizzare questo tipo di forma (complessa) della serie di Fourier.
La cosa migliore a mio avviso è quella di esporvi quanto appreso in merito attraverso un esercizio di cui ho anche la soluzione (senza pero i passaggi).
L'esercizio è il seguente:
Determinare la forma complessa della funzione periodica $f(t)$ di periodo $pi$ definita nel modo seguente:
$f(t)=e^(-t/2)$ dove $0<=t
Premessa:
Utilizzerò la definizione $D_n=C_n$ per il semplice motivo che le dispense del mio docente usano $D_n$
Idea chiave:
La mia idea chiave è quella di rappresentare $D_n=|D_n|*e^(i\theta)$
dove $\theta=arctan((iy)/x)$
dove $x+iy=D_n$
e infine $D_n=1/(T_0)\int_c^{c+T_0} f(t) e^{-i n w_0 t} \ dt$
Svolgimento
- Trovo $w_0=(2pi)/pi=2$
- Trovo integrando da $0$ a $pi$
$D_n =1/(pi)\int_0^{pi} e^{-2/t} e^{-i n 2 t} \ dt=\frac{2 (e^{-\frac{\pi }{2}}-1)}{\pi (-1-4 i n)}$
- Riscrivo $D_n$ in forma coniugata
$D_n=\frac{2}{\pi (16 n^2+1)}-\frac{2 e^{-\frac{\pi }{2}}}{\pi (16 n^2+1)}+i (\frac{8 e^{-\frac{\pi }{2}} n}{\pi (16 n^2+1)}-\frac{8 n}{\pi (16 n^2+1)})$
- Trovo $|D_n|$
$|D_n|=\frac{2 e^{-\frac{\pi }{2}} (e^{\pi /2}-1) \sqrt{1-16 n^2}}{16 \pi n^2+\pi }$
Adesso mi aspetto da $|D_n|$ solo numeri reali essendo un modulo giusto?
Infatti per $|D_0|=0.504$
ma per $|D_1|=0.114886i$
com'è possibile? stiamo parlando di modulo e ottengo numeri complessi?
dov'è l'errore?
grazie
La cosa migliore a mio avviso è quella di esporvi quanto appreso in merito attraverso un esercizio di cui ho anche la soluzione (senza pero i passaggi).
L'esercizio è il seguente:
Determinare la forma complessa della funzione periodica $f(t)$ di periodo $pi$ definita nel modo seguente:
$f(t)=e^(-t/2)$ dove $0<=t
Premessa:
Utilizzerò la definizione $D_n=C_n$ per il semplice motivo che le dispense del mio docente usano $D_n$
Idea chiave:
La mia idea chiave è quella di rappresentare $D_n=|D_n|*e^(i\theta)$
dove $\theta=arctan((iy)/x)$
dove $x+iy=D_n$
e infine $D_n=1/(T_0)\int_c^{c+T_0} f(t) e^{-i n w_0 t} \ dt$
Svolgimento
- Trovo $w_0=(2pi)/pi=2$
- Trovo integrando da $0$ a $pi$
$D_n =1/(pi)\int_0^{pi} e^{-2/t} e^{-i n 2 t} \ dt=\frac{2 (e^{-\frac{\pi }{2}}-1)}{\pi (-1-4 i n)}$
- Riscrivo $D_n$ in forma coniugata
$D_n=\frac{2}{\pi (16 n^2+1)}-\frac{2 e^{-\frac{\pi }{2}}}{\pi (16 n^2+1)}+i (\frac{8 e^{-\frac{\pi }{2}} n}{\pi (16 n^2+1)}-\frac{8 n}{\pi (16 n^2+1)})$
- Trovo $|D_n|$
$|D_n|=\frac{2 e^{-\frac{\pi }{2}} (e^{\pi /2}-1) \sqrt{1-16 n^2}}{16 \pi n^2+\pi }$
Adesso mi aspetto da $|D_n|$ solo numeri reali essendo un modulo giusto?
Infatti per $|D_0|=0.504$
ma per $|D_1|=0.114886i$
com'è possibile? stiamo parlando di modulo e ottengo numeri complessi?
dov'è l'errore?
grazie
Risposte
Non può venire fuori un qualcosa di immaginario quando calcoli il modulo.
Questo per definizione, non è che hai sbagliato un calcolo.
Se ad es. $z=a+ib,\ \ a,b \in RR$ allora $|z|=\sqrt(a^2+b^2)$.
$a,b \in RR$ quindi non può venire qualcosa di immaginario.
Questo per definizione, non è che hai sbagliato un calcolo.
Se ad es. $z=a+ib,\ \ a,b \in RR$ allora $|z|=\sqrt(a^2+b^2)$.
$a,b \in RR$ quindi non può venire qualcosa di immaginario.
Provo a ricontrollare, penso che ho inserito la parte immaginaria.
Allora anche per $arctan((iy)/x)$ devo correggere in $arctan(y/x)$ ?
Allora anche per $arctan((iy)/x)$ devo correggere in $arctan(y/x)$ ?
"giogiomogio":
Provo a ricontrollare, penso che ho inserito la parte immaginaria.
Allora anche per $arctan((iy)/x)$ devo correggere in $arctan(y/x)$ ?
Si
Perfetto grazie,
ora combacia tutto
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