Serie di Fourier e spazi di Hilbert
Studiando la serie di Fourier ho accettato per buono che essa sia convergente (in norma, non puntualmente) in uno spazio di Hilbert... tuttavia non mi è chiaro il perché. Dalla disuguaglianza di Bessel e sfruttando la generalizzazione del teorema di Pitagora si nota facilmente che la norma al quadrato (energia) della somma della serie di Fourier del vettore $x$ è maggiorata dalla norma al quadrato di $x$... ma allora non è sufficiente essere in uno spazio dotato di norma e di prodotto scalare (anche non completo rispetto ad esso)? Perché dobbiamo essere in uno spazio di Hilbert?
Risposte
Se ti manca la completezza cade tutta la teoria delle proiezioni; lo stesso Teorema della proiezione non è più vero, ed infatti la dimostrazione richiede la completezza dello spazio.
Cadendo i risultati sulle proiezioni, non ha nemmeno senso parlare di serie di Fourier, anche in spazi con prodotto scalare.
Cadendo i risultati sulle proiezioni, non ha nemmeno senso parlare di serie di Fourier, anche in spazi con prodotto scalare.
"Luca.Lussardi":
Se ti manca la completezza cade tutta la teoria delle proiezioni; lo stesso Teorema della proiezione non è più vero, ed infatti la dimostrazione richiede la completezza dello spazio.
cosa dice questo teorema e che nesso ha con la serie di Fourier? non l'ho mai trattato...
Il Teorema della proiezione ti dice che se sei in uno spazio di Hilbert ogni elemento ha un'unica proiezione ortogonale su un sottospazio vettoriale dato (o, più in generale, su un convesso chiuso non vuoto).
La serie di Fourier diventa quindi la serie costituita dalle proiezioni ortogonali sui sottospazi generati dagli elementi di un sistema ortonormale completo.
Nel caso classico di $L^2$, il sistema classico ortonormale completo di seni e coseni ti dà la classica serie di Fourier come serie trigonometrica.
La serie di Fourier diventa quindi la serie costituita dalle proiezioni ortogonali sui sottospazi generati dagli elementi di un sistema ortonormale completo.
Nel caso classico di $L^2$, il sistema classico ortonormale completo di seni e coseni ti dà la classica serie di Fourier come serie trigonometrica.
"Luca.Lussardi":
Nel caso classico di $L^2$, il sistema classico ortonormale completo di seni e coseni ti dà la classica serie di Fourier come serie trigonometrica.
eh si... è a quella a cui sono abituato (o al massimo alla serie esponenziale) anche se ho letto che si potrebbe usare qualunque altro sistema ortonormale
in ogni caso ti ringrazio della spiegazione... vorrei aggiungere solo una cosa: $L^1$ non dovrebbe essere uno spazio di Hilbert... come mai la convergenza della serie di Fourier viene estesa a tale spazio? E poi come fa a diventare convergenza puntuale se $x$ è regolarizzato in ogni punto?
La serie di Fourier classica, una volta scritta, potrebbe aver "senso" anche in altri spazi, nei quali si estende, con altri mezzi chiaramente, la convergenza della serie stessa.
Non capisco poi cosa intendi per "regolarizzare".
Non capisco poi cosa intendi per "regolarizzare".
"Luca.Lussardi":
La serie di Fourier classica, una volta scritta, potrebbe aver "senso" anche in altri spazi, nei quali si estende, con altri mezzi chiaramente, la convergenza della serie stessa.
Bene, dunque è lecita tale estensione...
Per regolarizzato intendo questo:
Un segnale $x$ definito in $RR$ è regolarizzato in $t_0inRR$ se valgono le seguenti condizioni:
- in $t_0$ il segnale $x$ è continuo o presenta discontinuità di I specie e in quest'ultimo caso risulta $x(t_0)=(x(t_0-)+x(t_0+))/2$
- in $t_0$ esistono finite derivata sinistra e destra
Il mio testo riporta un teorema (senza dimostrarlo) che dice: Sia $x inL^1(0,tau)$ periodico di periodo $tau$. Se $x$ è regolarizzato in $t_0$ la sua serie di Fourier converge a $x(t_0)$ in tale punto.
La mia domanda era sostanzialmente volta a capire come si possa giustificare tale teorema non essendo $L^1$ di Hilbert (anche se mi hai detto che è possibile farlo) e dato che la convergenza era stata finora intesa in norma e non in senso puntuale
La convergenza in norma $L^2$ (od anche $L^1$) implica comunque la convergenza puntuale quasi ovunque.
Quanto all'estensione in $L^1$ delle serie di Fourier si può fare, anzi classicamente (ovvero come serie trigonometriche) si fanno in $L^1$, ma volendole vedere in modo astratto l'ambiente di lavoro deve essere uno spazio di Hilbert, per avere le proiezioni.
Quanto all'estensione in $L^1$ delle serie di Fourier si può fare, anzi classicamente (ovvero come serie trigonometriche) si fanno in $L^1$, ma volendole vedere in modo astratto l'ambiente di lavoro deve essere uno spazio di Hilbert, per avere le proiezioni.
Perfetto! Grazie Luca e bentornato tra noi!
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