Serie di fourier
ciao a tutti, sto facendo un esercizio in cui mi è chiesto di sviluppare in serie di fourier una funzione:
$ f(x) = 1 + x + sen ( 2x ) $
ho usato le proprietà che mi dicono: se f dispari --> a(h) = 0
se f pari --> b(k) = 0
dunque io ho: 1 ne pari ne dispari, x dispari e sen (2x )pari. per cui per a( h) io considero solo " 1 + sen(2x)" e per b(k) considero solo " 1+ x" .
svolgendo i calcoli ottengo:
a(0) = 2
a(h) = 0
$ b(k) = -2/k * cos( k pi) $ .
quindi riscrivo la funzione secondo la formula : f(x) = $ (a(0)) / 2 + sum_ a(h)cos(hx) + b(k)sen(kx) $
mi risulta: $ 1 + 2 sum_(k=1) ((-1) ^ (k+1))/k *sen(kx) $
mentre sul libro risulta $ 1 + 2 senx + 2 sum_(k=3) ((-1) ^ (k+1))/k *sen(kx) $ .
quello che mi chiedo io è: io ho studiato tutti i coefficienti, quindi sostituisco tutta la funzione con la serie...perché invece il libro riscrive la funzione inserendo ancora il sen ( 2x) (che poi viene semplificato con il termine all'interno della serie per k=2)????
$ f(x) = 1 + x + sen ( 2x ) $
ho usato le proprietà che mi dicono: se f dispari --> a(h) = 0
se f pari --> b(k) = 0
dunque io ho: 1 ne pari ne dispari, x dispari e sen (2x )pari. per cui per a( h) io considero solo " 1 + sen(2x)" e per b(k) considero solo " 1+ x" .
svolgendo i calcoli ottengo:
a(0) = 2
a(h) = 0
$ b(k) = -2/k * cos( k pi) $ .
quindi riscrivo la funzione secondo la formula : f(x) = $ (a(0)) / 2 + sum_ a(h)cos(hx) + b(k)sen(kx) $
mi risulta: $ 1 + 2 sum_(k=1) ((-1) ^ (k+1))/k *sen(kx) $
mentre sul libro risulta $ 1 + 2 senx + 2 sum_(k=3) ((-1) ^ (k+1))/k *sen(kx) $ .
quello che mi chiedo io è: io ho studiato tutti i coefficienti, quindi sostituisco tutta la funzione con la serie...perché invece il libro riscrive la funzione inserendo ancora il sen ( 2x) (che poi viene semplificato con il termine all'interno della serie per k=2)????
Risposte
"enzo_87":
1 ne pari ne dispari
??
1= funzione costante....ne pari ne dispari...ho sbagliato?
Ciao Enzo,
a me pare che una retta parallela all'asse x sia simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, come $x^2$ o $cosx$...
mi sembra una funzione pari.
a me pare che una retta parallela all'asse x sia simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, come $x^2$ o $cosx$...
mi sembra una funzione pari.
ok, mea culpa...ma io nel dubbio, considerandola ne pari ne dispari, la inserivo già negli integrali per calcolare i coefficienti, quindi il problema non è quello. il mio problema è capire perché, dopo che ho trovato i coefficienti, scrive ancora sen(2x)...e non scrive come ho scritto io.
la stessa cosa l'ho riscontrata in un altro esercizio...sviluppa i coefficienti considerando le funzioni pari e dispari, quindi effettuando le semplificazioni..quindi io ritenevo che quello era lo sviluppo...invece considera ancora altre parti.
se interessa il libro è: analisi 2 di canuto - tabacco.
se interessa ancora posso dare anche l'altro esercizio
la stessa cosa l'ho riscontrata in un altro esercizio...sviluppa i coefficienti considerando le funzioni pari e dispari, quindi effettuando le semplificazioni..quindi io ritenevo che quello era lo sviluppo...invece considera ancora altre parti.
se interessa il libro è: analisi 2 di canuto - tabacco.
se interessa ancora posso dare anche l'altro esercizio
boh...io ho provato anche a fare tutto l'integrale ora: mi risulta ancora
a(0)=2
a(h)=0
b(k)= -(2/k)* cos(kx)
quindi, avendo tolto il dubbio di semplificazioni o quant'altro...f(x) = $ 1+ 2 sum_(k = 1) (-1)^(k+1)/k*sen(kx) $
qualcuno sa indicarmi dove sbaglio??
a(0)=2
a(h)=0
b(k)= -(2/k)* cos(kx)
quindi, avendo tolto il dubbio di semplificazioni o quant'altro...f(x) = $ 1+ 2 sum_(k = 1) (-1)^(k+1)/k*sen(kx) $
qualcuno sa indicarmi dove sbaglio??
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