Serie di Fourier

[enigmagame]

Ciao...
in un esercizio mi è richiesto di determinare uno sviluppo in serie di Fourier del tipo $(a0)/2+sumakcos(kx)+bksin(kx)$ che converga uniformemente alla funzione $f(x) = x(x-pi)$ sull'intervallo $[0,pi]$
ho calcolato $a0$ che viene: $-(pi^2)/6$.
per quanto riguarda $ak$ ottengo questo: $((-1)^k)/k^2$, questo pezzo mi viene confermato da Derive che però aggiunge questa cosa $1/k^2$ e non riesco a capire dove ho sbagliato visto che non la trovo...

Grazie...

[Luke1984]

Io conosco un'identità di Parseval riguardante i segnali periodici, ma non so se è quella che intendi tu.

Quella che conosco io afferma che è possibile calcolare la potenza di un segnale tramite la somma dei moduli quadri dei coefficienti (COMPLESSI) di Fourier.
In pratica se tu hai definito:

$c_k=1/T int_(-0.5T)^(0.5T)x(tau)e^(-j2piomegatauk/T)d tau$ (con T il periodo del segnale)

puoi ottenere la potenza del segnale facendo:

$P=sum_(k=-infty)^(infty)|c_k|^2$

Se il segnale è reale, e utilizzi l'espansione in seni e coseni, avrai definito (potrebbero esserci differenze riguardo le costanti moltiplicative):

$a_k=2/T int_(-0.5T)^(0.5T)x(tau)cos(2piomegatauk/T)d tau$
$b_k=2/T int_(-0.5T)^(0.5T)x(tau)sin(2piomegatauk/T)d tau$

In tal caso hai $a_k=2Re{c_k}$ e $b_k=-2Im{c_k}$, per cui $|c_k|^2=(a_k^2+b_k^2)/4$

Ricordiamo che la potenza media di un segnale periodico si può calcolare su un singolo periodo, ovvero:

$P=1/T int_(-0.5T)^(0.5T)|x(tau)|^2 d tau$

Nel tuo caso il periodo è $2pi$, per cui l'identità (di Parseval?) diventa:

$1/(2pi) int_(-pi)^(pi)|x(tau)|^2 d tau=sum_(k=0)^(infty)(a_k^2+b_k^2)/4$

Spero di non aver fatto errori di calcolo, e di esserti stato d'aiuto.

Ciao!