Serie di Fourier
Ciao...
in un esercizio mi è richiesto di determinare uno sviluppo in serie di Fourier del tipo $(a0)/2+sumakcos(kx)+bksin(kx)$ che converga uniformemente alla funzione $f(x) = x(x-pi)$ sull'intervallo $[0,pi]$
ho calcolato $a0$ che viene: $-(pi^2)/6$.
per quanto riguarda $ak$ ottengo questo: $((-1)^k)/k^2$, questo pezzo mi viene confermato da Derive che però aggiunge questa cosa $1/k^2$ e non riesco a capire dove ho sbagliato visto che non la trovo...
Grazie...
in un esercizio mi è richiesto di determinare uno sviluppo in serie di Fourier del tipo $(a0)/2+sumakcos(kx)+bksin(kx)$ che converga uniformemente alla funzione $f(x) = x(x-pi)$ sull'intervallo $[0,pi]$
ho calcolato $a0$ che viene: $-(pi^2)/6$.
per quanto riguarda $ak$ ottengo questo: $((-1)^k)/k^2$, questo pezzo mi viene confermato da Derive che però aggiunge questa cosa $1/k^2$ e non riesco a capire dove ho sbagliato visto che non la trovo...
Grazie...
Risposte
In pratica in questo integrale: $int_0^pi(x(x-pi))cos(kx)dx$ non capisco da dove salti fuori il $1/k^2$ nella soluzione...
Forse ho perso qualche passaggio...
Forse ho perso qualche passaggio...
Il fattore 1/(k^2) esce fuori dall'integrazione per parti. Usando la funzione cos(kx) come funzione di cui trovare la primitiva nell'integrazione per parti hai che una primitiva di cos (kx) è sen(kx)/k. Poichè l'integrazione per parti la applichi due volte ecco spiegato il fattore 1/(k^2). In realtà ci sarebbe anche un fattore 1/(k^3) che però è moltiplicato per sen(kx) che valutato negli estremi dà valore nullo.
Infatti l'integrale da te scritto è pari a:
f(x)*sen(kx)/k+f'(x)*cos(kx)/(k^2)-f''(x)*sen(kx)/(k^3)
dove
f(x)=x(x-Pi), f'(x)=2x-Pi, f''(x)=2
Ora il seno in 0 e Pi dà valore nullo per cui l'unico contributo è quello relativo a f'(x)*cos(kx)/(k^2) che valutato tra 0 e Pi dà come risultato
2*Pi*cos(kPi)/(k^2)
Ricordando che cos(kPi)=(-1)^k allora l'integrale dà come risultato
2*Pi*(-1)^k/(k^2)
Suppongo che nel calcolo degli ak e bk ci sta anche un fattore 1/(2Pi), per cui in conclusione
ak=1/(2Pi)*2Pi*(-1)^k/(k^2)=(-1)^k/(k^2)
Infatti l'integrale da te scritto è pari a:
f(x)*sen(kx)/k+f'(x)*cos(kx)/(k^2)-f''(x)*sen(kx)/(k^3)
dove
f(x)=x(x-Pi), f'(x)=2x-Pi, f''(x)=2
Ora il seno in 0 e Pi dà valore nullo per cui l'unico contributo è quello relativo a f'(x)*cos(kx)/(k^2) che valutato tra 0 e Pi dà come risultato
2*Pi*cos(kPi)/(k^2)
Ricordando che cos(kPi)=(-1)^k allora l'integrale dà come risultato
2*Pi*(-1)^k/(k^2)
Suppongo che nel calcolo degli ak e bk ci sta anche un fattore 1/(2Pi), per cui in conclusione
ak=1/(2Pi)*2Pi*(-1)^k/(k^2)=(-1)^k/(k^2)
Per il $1/k^2$ ho capito... continuavo a sbagliare io... grazie mille!!!
I coefficienti io li ho definiti in questo modo: (in generale)
$a0 = 1/pi int_-pi^pif(x)dx$
$ak = 1/pi int_-pi^pif(x)cos(kx)dx$
$bk = 1/pi int_-pi^pif(x)sin(kx)dx$
Quindi alla fine dovrei ottenere un risultato leggermente diverso dal tuo... giusto?
I coefficienti io li ho definiti in questo modo: (in generale)
$a0 = 1/pi int_-pi^pif(x)dx$
$ak = 1/pi int_-pi^pif(x)cos(kx)dx$
$bk = 1/pi int_-pi^pif(x)sin(kx)dx$
Quindi alla fine dovrei ottenere un risultato leggermente diverso dal tuo... giusto?
"enigmagame":
Per il $1/k^2$ ho capito... continuavo a sbagliare io... grazie mille!!!
I coefficienti io li ho definiti in questo modo: (in generale)
$a0 = 1/pi int_-pi^pif(x)dx$
$ak = 1/pi int_-pi^pif(x)cos(kx)dx$
$bk = 1/pi int_-pi^pif(x)sin(kx)dx$
Quindi alla fine dovrei ottenere un risultato leggermente diverso dal tuo... giusto?
Giusto: scusa per la fretta, non avevo valutato cos(kx) in x=0 nell'integrale definito. Il risultato giusto è:
ak=(1+(-1)^k))/(k^2) cioè per k dispari ak=0 e per k pari ak=2/(k^2)
Ti trovi?
Si, $ak=((-1)^k+1)/k^2$ che io tengo cosi per poi inserirlo nella serie...
ora provo a risolvere e postare $bk$ cosi vediamo...
ora provo a risolvere e postare $bk$ cosi vediamo...
Mi viene... $bk=(2(-1)^k-1)/(k^3pi)$ torna?
quindi la somma completa doverbbe essere: $-pi^2/3 + sum_(k=1)^\infty ((-1)^k+1)/k^2cos(kx) + (2(-1)^k-1)/(k^3pi)sinkx$
giusta?
quindi la somma completa doverbbe essere: $-pi^2/3 + sum_(k=1)^\infty ((-1)^k+1)/k^2cos(kx) + (2(-1)^k-1)/(k^3pi)sinkx$
giusta?
"enigmagame":
Mi viene... $bk=(2(-1)^k-1)/(k^3pi)$ torna?
quindi la somma completa doverbbe essere: $-pi^2/3 + sum_(k=1)^\infty ((-1)^k+1)/k^2cos(kx) + (2(-1)^k-1)/(k^3pi)sinkx$
giusta?
io mi trovo così:
bk=2*[(-1)^k-1]/(Pi*k^3) cioè il mio 2 moltiplica l'intero fattore [(-1)^k-1] mentre a te moltiplica solo (-1)^k (se non leggo male; se ho letto male scusami sin da ora).
Quindi se k è pari bk=0 , se k è dispari bk=-4/(Pi*k^3)
Allora... come risultato dell'integrale ottengo: (non considerando il seno) $(2cos(kpi))/(pik^3)-2/(pik^3)$.
quindi non mi viene una componente di questo tipo $(2(-1)^k-2)/(pik^3)$?
quindi non mi viene una componente di questo tipo $(2(-1)^k-2)/(pik^3)$?
"enigmagame":
Allora... come risultato dell'integrale ottengo: (non considerando il seno) $(2cos(kpi))/(pik^3)-2/(pik^3)$.
quindi non mi viene una componente di questo tipo $(2(-1)^k-2)/(pik^3)$?
Si, è identico a quanto da me scritto nel post precedente. Infatti cos(kPi)=(-1)^k.
Ora va bene; nel precedente post tu avevi scritto 2(-1)^k-1 cioè il 2 moltiplicava solo (-1)^k, invece deve moltiplicare l'intero fattore [(-1)^k-1]. Ora tutto ok, quello è il risultato giusto.
SiSI esatto 
grazie mille!!
Ho un altro paio di esercizi... poi li risolvo e li posto, cosi magari vedo se sono corretti!
grazie mille!!Ho un altro paio di esercizi... poi li risolvo e li posto, cosi magari vedo se sono corretti!
"enigmagame":
SiSI esatto
Ho un altro paio di esercizi... poi li risolvo e li posto, cosi magari vedo se sono corretti!
OK
Ecco qui il testo di un altro esercizio:
- Determinare uno sviluppo in serie di Fourier del tipo $(a0)/2+sum akcos(kx) +bksin(kx)$ che converga uniformemente alla funzione $f(x) = pi^2-x^2$ sull'intervallo $[-pi, pi]$, giustificando quanto si asserisce.
Scrivere esplicitamente l'identità di Parseval associata a questo sviluppo.
Allora... trovo i seguenti coefficienti: $a0 = (4pi^2)/3$, $ak = (4(-1)^(k+1))/k^2$, $bk = 0$.
scrivo quindi la serie in questo modo: $(2pi^2)/3 + sum_(k=1)^\infty (4(-1)^(k+1))/k^2cos(kx)$
E' corretta?
Secondo voi cosa dovrei scrivere per "giustificare quanto asserito"?
E che cosa devo fare nella seconda parte di esercizio? (Identità di Parseval)
Grazie
- Determinare uno sviluppo in serie di Fourier del tipo $(a0)/2+sum akcos(kx) +bksin(kx)$ che converga uniformemente alla funzione $f(x) = pi^2-x^2$ sull'intervallo $[-pi, pi]$, giustificando quanto si asserisce.
Scrivere esplicitamente l'identità di Parseval associata a questo sviluppo.
Allora... trovo i seguenti coefficienti: $a0 = (4pi^2)/3$, $ak = (4(-1)^(k+1))/k^2$, $bk = 0$.
scrivo quindi la serie in questo modo: $(2pi^2)/3 + sum_(k=1)^\infty (4(-1)^(k+1))/k^2cos(kx)$
E' corretta?
Secondo voi cosa dovrei scrivere per "giustificare quanto asserito"?
E che cosa devo fare nella seconda parte di esercizio? (Identità di Parseval)
Grazie
I coefficienti sono quelli da te trovati.
Per quanto riguarda l'identità di Parseval essa permette di trovare l'energia o la potenza di un segnale ( che o è di energia o di potenza) a partire dai coefficienti di Fourier.
L'energia (o la potenza) per definizione e per segnali reali, a meno di qualche fattore correttivo che di solito è il reciproco della durata del segnale per segnali di durata limitata, è l'integrale del modulo al quadrato del segnale considerato mentre per segnali complessi è l'integrale del prodotto tra il segnale e il suo complesso coniugato. Ma se del segnale si calcola lo sviluppo in serie di Fourier allora tale energia (o potenza) è possibile calcolarla sommando uno per uno i moduli al quadrato di tutti i coefficienti in serie di Fourier. Questo è il concetto.
Per quanto riguarda l'asserto devi far vedere che lo sviluppo trovato converge uniformemente alla f(x): applicare i teoremi sulla convergenza uniforme
Per quanto riguarda l'identità di Parseval essa permette di trovare l'energia o la potenza di un segnale ( che o è di energia o di potenza) a partire dai coefficienti di Fourier.
L'energia (o la potenza) per definizione e per segnali reali, a meno di qualche fattore correttivo che di solito è il reciproco della durata del segnale per segnali di durata limitata, è l'integrale del modulo al quadrato del segnale considerato mentre per segnali complessi è l'integrale del prodotto tra il segnale e il suo complesso coniugato. Ma se del segnale si calcola lo sviluppo in serie di Fourier allora tale energia (o potenza) è possibile calcolarla sommando uno per uno i moduli al quadrato di tutti i coefficienti in serie di Fourier. Questo è il concetto.
Per quanto riguarda l'asserto devi far vedere che lo sviluppo trovato converge uniformemente alla f(x): applicare i teoremi sulla convergenza uniforme
Ciao,
riguardo a questi ultimi due punti, ho solo qualche appunto, in quanto ero assente dalle lezioni... Mi trovo quindi un pò in difficoltà...
che tu sappia esiste in rete qualche dispensa che spieghi i criteri di convergenza uniforme e il calcolo dell'identità di Parseval?
e non ho nessun esempio di applicazione... quindi ci capisco poco!
riguardo a questi ultimi due punti, ho solo qualche appunto, in quanto ero assente dalle lezioni... Mi trovo quindi un pò in difficoltà...
che tu sappia esiste in rete qualche dispensa che spieghi i criteri di convergenza uniforme e il calcolo dell'identità di Parseval?
e non ho nessun esempio di applicazione... quindi ci capisco poco!
Per l'identità di Parseval puoi consultare o un libro classico sulla Teoria dei Segnali, o un libro di Analisi Complessa.
Per i tipi di convergenza un classico testo di analisi matematica: io ho usato il fusco-marcellini-sbordone a tal riguardo.
Anche in rete però si trovano dei risultati
Per i tipi di convergenza un classico testo di analisi matematica: io ho usato il fusco-marcellini-sbordone a tal riguardo.
Anche in rete però si trovano dei risultati
Ciao!
Allora per quanto riguarda l'identità di Parseval sugli appunti passati ho scritto questo:
Identità di Parseval $int_-pi^pi f^2(x) dx$ quindi nel caso abbia $f(x) = x^2$ ottengo $int_-pi^pi x^4 dx$.
Quindi l'identità di Parseval di $f(x) = x^2$ è $(2pi^5)/5$?
Allora per quanto riguarda l'identità di Parseval sugli appunti passati ho scritto questo:
Identità di Parseval $int_-pi^pi f^2(x) dx$ quindi nel caso abbia $f(x) = x^2$ ottengo $int_-pi^pi x^4 dx$.
Quindi l'identità di Parseval di $f(x) = x^2$ è $(2pi^5)/5$?
Mentre per quanto riguarda la convergenza sugli appunti utilizza il criterio di convergenza totale (criterio di weierstrass).
Come esempio ho questo: $4sum_(k=1)^\infty ((-1)^k)/k^2 cos(kx)$ tra $[-pi, pi]$
I passaggi che effettua sono questi: $4sum_(k=1)^\infty |((-1)^k)/k^2 cos(kx)| = 4sum_(k=1)^\infty (|cos(kx)|)/k^2 <= 4 sum_(k=1)^\infty 1/k^2 < +\infty$ che converge...
Se quindi io devo valutare la convergenza del secondo esercizio che avevo fatto ho questo coefficiente: $(4(-1)^(k+1))/k^2$
Ho quindi $sum_(k=1)^\infty |(4(-1)^(k+1))/k^2 cos(kx)| = sum_(k=1)^\infty (4|cos(kx)|)/k^2 <= sum_(k=1)^\infty 4/k^2 <= +\infty$ e quindi converge?
Come esempio ho questo: $4sum_(k=1)^\infty ((-1)^k)/k^2 cos(kx)$ tra $[-pi, pi]$
I passaggi che effettua sono questi: $4sum_(k=1)^\infty |((-1)^k)/k^2 cos(kx)| = 4sum_(k=1)^\infty (|cos(kx)|)/k^2 <= 4 sum_(k=1)^\infty 1/k^2 < +\infty$ che converge...
Se quindi io devo valutare la convergenza del secondo esercizio che avevo fatto ho questo coefficiente: $(4(-1)^(k+1))/k^2$
Ho quindi $sum_(k=1)^\infty |(4(-1)^(k+1))/k^2 cos(kx)| = sum_(k=1)^\infty (4|cos(kx)|)/k^2 <= sum_(k=1)^\infty 4/k^2 <= +\infty$ e quindi converge?
Sulla convergenza tutto ok, basta usare dei criteri come quelli che hai sugli appunti;
per quanto riguarda l'identità di Parseval, devi mostrare che vale tale identità e cioè che l'energia (o potenza) può essere espressa come somma dei moduli al quadrato di tutti i coefficienti di Fourier: devi provare che tale identità è vera nel tuo caso calcolando l'energia come integrale e poi come somma dei moduli al quadrato dei coefficienti di Fourier: è anche una contro prova che i coefficienti di Fourier da te calcolati sono giusti.
per quanto riguarda l'identità di Parseval, devi mostrare che vale tale identità e cioè che l'energia (o potenza) può essere espressa come somma dei moduli al quadrato di tutti i coefficienti di Fourier: devi provare che tale identità è vera nel tuo caso calcolando l'energia come integrale e poi come somma dei moduli al quadrato dei coefficienti di Fourier: è anche una contro prova che i coefficienti di Fourier da te calcolati sono giusti.
Per la convergenza bene!!! Proverò anche ad applicarla ad altri esercizi!
Male invece per l'identità di Parseval, sul mio libro di Sistemi e Segnali non è nemmeno citata e dagli appunti non capisco una mazza!
Ho quese cose di cui non capisco molto. Caso $f(x) = x^2$
L'identità di Parseval si scrive $int_-pi^pi f^2(x) dx = int_-pi^pi x^4 dx$
Poi inizio a non capir nulla $(2pi^5)/9 + sum_(k=1)^\infty 16pi/k^4 = (2pi^5)/5$ --> $(2/5-2/9)pi^4/16 = sum_(k=1)^\infty 1/k^4$
Male invece per l'identità di Parseval, sul mio libro di Sistemi e Segnali non è nemmeno citata e dagli appunti non capisco una mazza!
Ho quese cose di cui non capisco molto. Caso $f(x) = x^2$
L'identità di Parseval si scrive $int_-pi^pi f^2(x) dx = int_-pi^pi x^4 dx$
Poi inizio a non capir nulla $(2pi^5)/9 + sum_(k=1)^\infty 16pi/k^4 = (2pi^5)/5$ --> $(2/5-2/9)pi^4/16 = sum_(k=1)^\infty 1/k^4$
enigmagame sei più riuscito alla fine a risolvere la questione dell'identità di parseval?? sarei interessato a capirci qualcosa di più anch'io, l'esame si avvicina!
Nessuno ci da qualche delucidazione?
Nessuno ci da qualche delucidazione?
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