Serie di Fourier

[Biff1]

Ciao a tutti!
Ho una domanda: come posso affermare a prescindere se una serie rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo a una determinata funzione?

Per esempio : $ pi-4sum_(k = \1->oo ) 1/k^2sin(kx) $
rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier relativo alla funzione,dispari,periodica di periodo $T=2pi$ definita da
$f(x):=x$
$ x in [-pi , pi] $
Grazie

[ciampax]

A prescindere da che? Secondo me, o calcoli i coefficienti, o calcoli i coefficienti. Non è che guardi una serie trigonometrica e dici "toh, guarda, questa vale tanto!". Il fatto è che, in generale, una serie trigonometrica qualsiasi "potrebbe" dare luogo ad una determinata funzione, ma non puoi esserne certo. E' come con le serie di Taylor: potrebbero avere una somma specifica, così come non averne.

[Biff1]

era nel mio compito di analisi 2 con un nota bene gigantesco :
(cito)

"N.B. Non calcolare i coefficienti di Fourier, ma dimostrare la risposta."

http://www.dmmm.uniroma1.it/~sandra.car ... iu2013.pdf

[ciampax]

Ahhhhh, ecco, ma la prima richiesta non l'hai menzionata, cioè quella della convergenza totale. Avendo a disposizione quella cosa, ti viene, in soldoni, richiesto di dimostrare che $x=$ la serie da te scritta. Ora, hai qualche idea di come procedere? Considera che ti vengono date tutte le informazioni possibili su come è fatta la funzione $x$. E, ovviamente, dovresti tenere conto di un qualche risultato di "stima" degli errori quando approssimi una funzione con la sua serie.

[Biff1]

quindi una volta che dimostro che converge totalmente, devo verificare che per ogni valore di $x$ la Serie sia uguale a $x$ ?
(nel caso dell'esempio non è così, quindi posso affermare che quella serie non rappresenta lo sviluppo in serie di Fourier richiesto)

[ciampax]

Bé, in sostanza sì. Per prima cosa, però, potresti far vedere se la serie e la funzione hanno le stesse caratteristiche elementari, quali periodicità, simmetria, ecc. Se una di queste non coincide, hai fatto. Comunque concentrati anche sul risultato che citavo.

[Biff1]

Grazie mille !
vedo come me la cavo