Serie convergenti...ma a quanto???
Ciao a tutti, sono fresco del forum..vi pongo subito il mio dubbio relativo alle serie:
considerata una serie, una volta verificato che è a termini positivi e che converge, COME devo fare per capire a QUANTO converge? L'unico modo che conosco è quello di esplicitare la serie utilizzando un pò di valori e cercare di capire quali di questi si elidono a vicenda e quali rimangono quindi fare il limite per n->infinito dei valori rimasti ma è impraticabile nel caso di serie 'complesse'. Come devo fare quindi?
Questo stesso problema l'ho se utilizzando il criterio della radice\rapporto trovo il risultato pari ad 1 e quindi l'unico modo di capire l'andamento della serie è quello di esplicitarla...(considerate per un momento che non mi sia ricordato del criterio di asintotico).
Porto come esempio il Serie da 1 ad infinito di: \$ n / (1000n + 1) \$ che verifica il criterio di convergenza ma il criterio del rapporto mi dice che è =1.
Grazie a tutti.
Saluti.
Luca
considerata una serie, una volta verificato che è a termini positivi e che converge, COME devo fare per capire a QUANTO converge? L'unico modo che conosco è quello di esplicitare la serie utilizzando un pò di valori e cercare di capire quali di questi si elidono a vicenda e quali rimangono quindi fare il limite per n->infinito dei valori rimasti ma è impraticabile nel caso di serie 'complesse'. Come devo fare quindi?
Questo stesso problema l'ho se utilizzando il criterio della radice\rapporto trovo il risultato pari ad 1 e quindi l'unico modo di capire l'andamento della serie è quello di esplicitarla...(considerate per un momento che non mi sia ricordato del criterio di asintotico).
Porto come esempio il Serie da 1 ad infinito di: \$ n / (1000n + 1) \$ che verifica il criterio di convergenza ma il criterio del rapporto mi dice che è =1.
Grazie a tutti.
Saluti.
Luca
Risposte
Beh non è un metodo molto scientifico... Altrimenti potresti fare lo stesso discorso per $ sum 1/n $ e vedendo che i termini vanno a 0 abbastanza rapidamente concludere che converge. cosa che NON è vera.
Non è quasi mai possibile scoprire a quali valori una sommatoria converge, questo è solitamente possibile per le serie geometriche ( $ sum q^n $ con $|q|<1$ ), e per le serie telescopiche ( secondo il procedimento di "termini che si elidono a vicenda" che hai enunciato tu prima ).
Comunque, la serie che hai postato tu dopo non ha termine generale infinitesimo, dunque non converge ( precisamente $a_n -> 1/1000$ )
Non è quasi mai possibile scoprire a quali valori una sommatoria converge, questo è solitamente possibile per le serie geometriche ( $ sum q^n $ con $|q|<1$ ), e per le serie telescopiche ( secondo il procedimento di "termini che si elidono a vicenda" che hai enunciato tu prima ).
Comunque, la serie che hai postato tu dopo non ha termine generale infinitesimo, dunque non converge ( precisamente $a_n -> 1/1000$ )
Ammesso che una data serie converge, per determinare la somma dovrebbe essere tale serie:
a) telescopica; cioé i termini si elidono ad ogni somma parziale permettendoti di vedere la somma,
b) una serie geometrica come ha detto pater,
c) utilizzare in qualche maniera (così ho letto) una serie di Fourier collegata alla serie che stai studiando,
d) i credenti in qualche entità superiore e trascendente l'umana essenza si rivolgano ad essa
a) telescopica; cioé i termini si elidono ad ogni somma parziale permettendoti di vedere la somma,
b) una serie geometrica come ha detto pater,
c) utilizzare in qualche maniera (così ho letto) una serie di Fourier collegata alla serie che stai studiando,
d) i credenti in qualche entità superiore e trascendente l'umana essenza si rivolgano ad essa
"lucay9":
Porto come esempio il Serie da 1 ad infinito di: \$ n / (1000n + 1) \$ che verifica il criterio di convergenza ma il criterio del rapporto mi dice che è =1.
Odio fare il guastafeste, ma [tex]$\sum \frac{n}{1000\ n+1}$[/tex] non può convergere.
Inoltre, per stabilire la somma di certe serie, è utilissimo conoscere gli sviluppi in serie di MacLaurin delle funzioni elementari.
oops è vero la serie che ho portato come esempio non converge 
Comunque, vi ringrazio per le risposte! Ora ragiono un attimo sul discorso asintottici poi se ho problemi mi rifaccio vivo.
grazie a tutti e ciao!
Comunque, vi ringrazio per le risposte! Ora ragiono un attimo sul discorso asintottici poi se ho problemi mi rifaccio vivo.
grazie a tutti e ciao!
Ok,sono ancora qui con questi problemi di convergenza...qualcuno sa spiegarmi perchè la serie qui sotto converge a $ -log2 $ ??
$ sum log (1- (1/n^2) )$
utilizzando il metodo dell'asintottico arrivo a dire che la serie ha lo stesso comportamento della serie $ -1/n^2 $ che è un'armonica generalizzata con alfa >1 quindi converge...ma di un'armonica generalizzata,non posso sapere A QUANTO converge..eppure l'esercizio vuole che lo calcoli....
Qualche idea?
Grazie a tutti
Ciao!
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$ sum log (1- (1/n^2) )$
utilizzando il metodo dell'asintottico arrivo a dire che la serie ha lo stesso comportamento della serie $ -1/n^2 $ che è un'armonica generalizzata con alfa >1 quindi converge...ma di un'armonica generalizzata,non posso sapere A QUANTO converge..eppure l'esercizio vuole che lo calcoli....
Qualche idea?
Grazie a tutti
Ciao!
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Che la serie converga si vede col confronto asintotico.
Per trovarne la somma, nota che:
[tex]$\ln (1-\tfrac{1}{4}) +\ln (1-\tfrac{1}{9}) +\ln (1-\tfrac{1}{16}) +\ldots +\ln (1-\tfrac{1}{(n-1)^2}) +\ln (1-\tfrac{1}{n^2})=\ln \prod_{k=2}^n (1-\tfrac{1}{k^2})$[/tex]
di modo che:
[tex]$\sum_{k=2}^{+\infty} \ln (1-\tfrac{1}{n^2}) =\ln \prod_{k=2}^{+\infty} (1-\tfrac{1}{n^2})$[/tex].
Per acquisire il risultato potresti provare a dimostrare che [tex]$\prod_{k=2}^{+\infty} (1-\tfrac{1}{n^2}) =\frac{1}{2}$[/tex].
Per trovarne la somma, nota che:
[tex]$\ln (1-\tfrac{1}{4}) +\ln (1-\tfrac{1}{9}) +\ln (1-\tfrac{1}{16}) +\ldots +\ln (1-\tfrac{1}{(n-1)^2}) +\ln (1-\tfrac{1}{n^2})=\ln \prod_{k=2}^n (1-\tfrac{1}{k^2})$[/tex]
di modo che:
[tex]$\sum_{k=2}^{+\infty} \ln (1-\tfrac{1}{n^2}) =\ln \prod_{k=2}^{+\infty} (1-\tfrac{1}{n^2})$[/tex].
Per acquisire il risultato potresti provare a dimostrare che [tex]$\prod_{k=2}^{+\infty} (1-\tfrac{1}{n^2}) =\frac{1}{2}$[/tex].
ahhh, quindi il segreto era 'semplicemente' esplicitare la serie...io ormai come tecnica cercavo di evitarla in favore di tentativi di ricondurmi a geometriche\telescopiche o cmq serie di cui si può calcolare direttamente la somma.
Ora ho capito come bisogna ragionarle.
Grazie ancora.
Ciao!
Ora ho capito come bisogna ragionarle.
Grazie ancora.
Ciao!
In realtà cercare di "esplicitare" le somme parziali va bene in pochissimi casi; diciamo che è un po' l'ultima spiaggia...
Insomma, quando ti si chiede di determinare la somma di una serie o tale serie è (riconducibile a) qualche serie elementare -ossia geometrica o telescopica- oppure è (riconducibile a) una serie di Taylor/MacLaurin nota ovvero è manipolabile in modo semplice con un po' di algebra di bassa lega.
Nel caso presente, ad un primo colpo d'occhio, la serie non ricadeva in nessuno dei primi due casi, quindi ho suggerito quel passaggio.
Se provi a semplificare un po' quella produttoria ti accorgi che la soluzione è a portata di mano.
Insomma, quando ti si chiede di determinare la somma di una serie o tale serie è (riconducibile a) qualche serie elementare -ossia geometrica o telescopica- oppure è (riconducibile a) una serie di Taylor/MacLaurin nota ovvero è manipolabile in modo semplice con un po' di algebra di bassa lega.
Nel caso presente, ad un primo colpo d'occhio, la serie non ricadeva in nessuno dei primi due casi, quindi ho suggerito quel passaggio.
Se provi a semplificare un po' quella produttoria ti accorgi che la soluzione è a portata di mano.
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