Serie convergente: calcolarne il valore
Secondo voi come è possibile calcolare il valore a cui converge questa serie?
$\sum_{n=1}^\infty (1/4)^n(1/(n+1))$
Ho verificato che fosse soddisfatta la condizione necessaria calcolandone il limite:
$\lim_{n \to \infty}(1/4)^n(1/(n+1))=0$
Ma come stabilire se converge effettivamente e nel caso quale sia il valore?
Grazie
$\sum_{n=1}^\infty (1/4)^n(1/(n+1))$
Ho verificato che fosse soddisfatta la condizione necessaria calcolandone il limite:
$\lim_{n \to \infty}(1/4)^n(1/(n+1))=0$
Ma come stabilire se converge effettivamente e nel caso quale sia il valore?
Grazie
Risposte
Ti do un suggerimento, prova a studiare la serie di potenze
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+n} $
e fare un po' di considerazioni su come converge...
EDIT: mi sembrava che prima avessi già stabilito la convergenza, comunque con il criterio del rapporto ad esempio non dovresti avere problemi...
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1+n} $
e fare un po' di considerazioni su come converge...
EDIT: mi sembrava che prima avessi già stabilito la convergenza, comunque con il criterio del rapporto ad esempio non dovresti avere problemi...
beh così è presto detto, in quanto $x=1/4$ ed $R=\infty$
Quindi la serie converge per $x=1/4$, corretto?
Quindi la serie converge per $x=1/4$, corretto?
No; io in realtà ti suggerivo il criterio del rappporto per verificare la convergenza della serie numerica ma non importa.
Volendo calcolarsi il raggio della serie di potenze puoi usare ancora il criterio del rapporto e concludere che $R=1$, come fa a venirti infinito?
In $x=1$ non converge perché é la serie armonica e invece in $x=-1$ converge per il criterio di Leibniz.
Riassumendo, (per i teoremi sulle serie di potenze) hai che la serie
. Converge puntualmente per $x \in [-1; 1)$
. Converge uniformemente in ogni compatto contenuto in $[-1;1)$
. Non converge per $ x<-1 \vee x \ge 1$
Dunque per $x=1/4$ la serie converge.
Detto ciò, per calcolare la somma c'è da fare qualche considerazione sulla serie di potenze, vista anche la maniera con cui converge...
Volendo calcolarsi il raggio della serie di potenze puoi usare ancora il criterio del rapporto e concludere che $R=1$, come fa a venirti infinito?
In $x=1$ non converge perché é la serie armonica e invece in $x=-1$ converge per il criterio di Leibniz.
Riassumendo, (per i teoremi sulle serie di potenze) hai che la serie
. Converge puntualmente per $x \in [-1; 1)$
. Converge uniformemente in ogni compatto contenuto in $[-1;1)$
. Non converge per $ x<-1 \vee x \ge 1$
Dunque per $x=1/4$ la serie converge.
Detto ciò, per calcolare la somma c'è da fare qualche considerazione sulla serie di potenze, vista anche la maniera con cui converge...
"Bremen000":
No; io in realtà ti suggerivo il criterio del rappporto per verificare la convergenza della serie numerica ma non importa.
Non sapevo si potesse utilizzare anche il criterio del rapporto per il calcolo del raggio di convergenza, leggevo solo quello della radice ma se non sbaglio entrambi i criteri dovrebbero restituire gli stessi risultati o sbaglio?
"Bremen000":
Volendo calcolarsi il raggio della serie di potenze puoi usare ancora il criterio del rapporto e concludere che $R=1$, come fa a venirti infinito?
Le fretta mi ha fatto trarre conclusioni troppo "istintive", non avevo applicato alcun criterio per il calcolo del raggio.
Spiegazione devo dire eccellente e molto molto chiara.
Grazie.
"zio_mangrovia":
ma se non sbaglio entrambi i criteri dovrebbero restituire gli stessi risultati o sbaglio?
Per essere precisi, data la serie di potenze $\sum_{n=n_0}^{\infty}(x-x_0)^n a_n$
. Se $\lim_{n \to \infty} \abs{frac{a_n}{a_{n+1}}$ esiste, allora esso è pari a $R$, raggio di convergenza della serie.
. $\underset{n \to \infty}{\text{limsup }$ $ \frac{1}{(\abs{a_n})^{1/n}}$ è pari a $R$, raggio di convergenza della serie
Dunque i due metodi coincidono nel caso il primo limite esista; ti faccio notare che il secondo esiste sempre perché è un limsup.
Be' insomma per la somma delle serie?
per la somma mi verrebbe da dire ... $(1/4)^n$ è una serie geometrica pertanto converge a $1/(1-1/4)$ ma mi fermo qua...
La convergenza era banale. Basta notare che,
$0leq1/(4^n(n+1))leq1/4^n,foralln inNN$
Ti può aiutare il fatto che:
$log(x)=sum_(n=1)^(infty)(-1)^(n+1)(x-1)^n/n$
È lo sviluppo di taylor
Se ancora non ti dice nulla:
$0leq1/(4^n(n+1))leq1/4^n,foralln inNN$
Ti può aiutare il fatto che:
$log(x)=sum_(n=1)^(infty)(-1)^(n+1)(x-1)^n/n$
È lo sviluppo di taylor
Se ancora non ti dice nulla:
"anto_zoolander":
La convergenza era banale.
Immagino di sì, ma magari se si è agli inizi....
Per la somma della serie io invece proponevo di sfruttare la convergenza uniforme e notare che
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} =\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1} =xf(x)$$
E quindi, per $|x|<1$:
$$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx} \frac{x^{n+1}}{n+1}= \sum_{n=1}^{\infty}x^n =\frac{1}{1-x}-1$$
Sapendo poi che $f(0)=0$ otteniamo la seguente equazione differenziale
$$ \begin{cases}
f'(x) = \frac{1}{1-x}-1 \\
f(0)=0
\end{cases}
$$
Dunque $f(x) = -\log(1-x) -x$.
Infine
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} =\frac{1}{x} f(x) = -\frac{\log(1-x)}{x}-1$$
E valutandola in $x=1/4$ si ha
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} \frac{1}{n+1} = 4\log(4/3)-1$$
Ciao a tutti,
Per determinare la somma della serie proposta io avrei fatto in un altro modo ancora... Accogliendo il suggerimento iniziale di Bremen000, studiamo la serie seguente:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x} x^{n} dx$
Dato che si tratta di una serie di potenze, si può scambiare integrale con sommatoria, ottenendo così
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x} x^{n} dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sum_{n=1}^{\infty}x^{n} dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} - 1) dx$
La serie dentro la parentesi tonda è una serie geometrica, che converge a $frac{1}{1 - x}$ se $|x| < 1$, per cui sotto tali condizioni si ha:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} - 1) dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (frac{1}{1 - x} - 1) dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} frac{x}{1 - x} dx =$
$ = frac{1}{x}[- x - \log(1 - x)] = - 1 - frac{\log(1 - x)}{x}$
Nel caso particolare in cui $x = frac{1}{4}$, si ha:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/4)^n}{n+1} = 4\log(4/3) - 1$
come peraltro già ottenuto dagli esimi "colleghi" che mi hanno preceduto...
Per determinare la somma della serie proposta io avrei fatto in un altro modo ancora... Accogliendo il suggerimento iniziale di Bremen000, studiamo la serie seguente:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x} x^{n} dx$
Dato che si tratta di una serie di potenze, si può scambiare integrale con sommatoria, ottenendo così
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x} x^{n} dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sum_{n=1}^{\infty}x^{n} dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} - 1) dx$
La serie dentro la parentesi tonda è una serie geometrica, che converge a $frac{1}{1 - x}$ se $|x| < 1$, per cui sotto tali condizioni si ha:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (\sum_{n=0}^{\infty}x^{n} - 1) dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (frac{1}{1 - x} - 1) dx = frac{1}{x} \int_{0}^{x} frac{x}{1 - x} dx =$
$ = frac{1}{x}[- x - \log(1 - x)] = - 1 - frac{\log(1 - x)}{x}$
Nel caso particolare in cui $x = frac{1}{4}$, si ha:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/4)^n}{n+1} = 4\log(4/3) - 1$
come peraltro già ottenuto dagli esimi "colleghi" che mi hanno preceduto...
Piccola sciocchezza che è sfuggita a pilloeffe, variabile e estremo di integrazione non possono coincidere!
Beh, basta tener conto che c'è chi è $x$ e c'è chi è "più $x$"...
Scherzi a parte, in effetti sarebbe stato più opportuno distinguere:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x} t^{n} dt = frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sum_{n=1}^{\infty}t^{n} dt = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (\sum_{n=0}^{\infty}t^{n} - 1) dt$
anche se poi il risultato finale non cambia, perché la variabile $x$ all'interno dell'integrale è "muta" e non è stata confusa con la $x$ estremo di integrazione e quella esterna all'integrale, che invece sono "parlanti"...
Scherzi a parte, in effetti sarebbe stato più opportuno distinguere:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n + 1}}{n+1} = frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{x} t^{n} dt = frac{1}{x} \int_{0}^{x} \sum_{n=1}^{\infty}t^{n} dt = frac{1}{x} \int_{0}^{x} (\sum_{n=0}^{\infty}t^{n} - 1) dt$
anche se poi il risultato finale non cambia, perché la variabile $x$ all'interno dell'integrale è "muta" e non è stata confusa con la $x$ estremo di integrazione e quella esterna all'integrale, che invece sono "parlanti"...
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