Serie convergente al variare del parametro
ciao ragazzi, come ieri, ho dei problemi sulle serie...
devo svolgere questo esercizio
per quali valori di a la serie converge, e calcolare la somma:
$ sum (a n + 4) / (n * (n+1) ) $
non so bene come partire...
noto però che se a fosse 0 la serie sarebbe convergente, perchè minore della serie 1/n^2...
inoltre, potrei applicare il teorema del confronto asintotico, in modo tale che mi ritrovo solamente
$ (a n ) / (n^2) $
e quindi le n si semplificano e mi rimane
$ (a ) / (n) $
quindi, sapendo che 1/n è la serie aromonica divergente,
se a è positiva la mia serie diverge, perchè è maggiorante di una serie divergente
quindi non va bene,
mentre se prendo una a negativa, la mia serie è minore rispetto alla serie armonica divergente,
quindi devo provare un'altra strada.
ma non mi viene in mente nulla....
devo svolgere questo esercizio
per quali valori di a la serie converge, e calcolare la somma:
$ sum (a n + 4) / (n * (n+1) ) $
non so bene come partire...
noto però che se a fosse 0 la serie sarebbe convergente, perchè minore della serie 1/n^2...
inoltre, potrei applicare il teorema del confronto asintotico, in modo tale che mi ritrovo solamente
$ (a n ) / (n^2) $
e quindi le n si semplificano e mi rimane
$ (a ) / (n) $
quindi, sapendo che 1/n è la serie aromonica divergente,
se a è positiva la mia serie diverge, perchè è maggiorante di una serie divergente
quindi non va bene,
mentre se prendo una a negativa, la mia serie è minore rispetto alla serie armonica divergente,
quindi devo provare un'altra strada.
ma non mi viene in mente nulla....
Risposte
inoltre, per non aprire un altro topic.. ho un problema sul calcolare la somma della seguente serie
$ sum 2^n / 3^(n+1) $
dato che la serie
mi viene convergente perchè la ragione è minore di 1 (2/3)
ho provato a scrivere
1 / (1 - q) ma nella soluzione non capisco perchè viene ancora 2/3 ..
potreste spiegarmi un metodo per risolvere le somme?
grazie
$ sum 2^n / 3^(n+1) $
dato che la serie
mi viene convergente perchè la ragione è minore di 1 (2/3)
ho provato a scrivere
1 / (1 - q) ma nella soluzione non capisco perchè viene ancora 2/3 ..
potreste spiegarmi un metodo per risolvere le somme?
grazie
Non vorrei sbagliarmi, infatti aspetta qualcuno più bravo di me.
La condizione 'necessaria' (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie è che $lim_(n->+oo)a_n=0$
io direi che per ogni valore di $a$ di $RR$ andrebbe bene poichè:
$lim_(n->+oo)(xn(1+4/(xn)))/(n^2(1+1/n))=0$
perchè:
$(4/(xn))->0$
$(1/n)->0$
e la serie si riduce a: $lim_(n->+oo)(x/n)=0$
(ho messo $x$ a posto della tua $a$)
P.S non mi viene in mente altro.
Ciao
La condizione 'necessaria' (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie è che $lim_(n->+oo)a_n=0$
io direi che per ogni valore di $a$ di $RR$ andrebbe bene poichè:
$lim_(n->+oo)(xn(1+4/(xn)))/(n^2(1+1/n))=0$
perchè:
$(4/(xn))->0$
$(1/n)->0$
e la serie si riduce a: $lim_(n->+oo)(x/n)=0$
(ho messo $x$ a posto della tua $a$)
P.S non mi viene in mente altro.
Ciao
ciao, grazie per aver risposto...
però secondo me cè un errore...
la serie non si riduce al limite che hai scritto tu, perchè hai raccolto anche unan e poi nell'ultimo passaggio te la sei dimenticata credo...
inoltre quella è la condizione necessaria, non sufficiente per la convergenza...
quindi non garantisce se una serie converge o diverge...
questo a quanto so io.. ma potrei sbagliarmi
però secondo me cè un errore...
la serie non si riduce al limite che hai scritto tu, perchè hai raccolto anche unan e poi nell'ultimo passaggio te la sei dimenticata credo...
inoltre quella è la condizione necessaria, non sufficiente per la convergenza...
quindi non garantisce se una serie converge o diverge...
questo a quanto so io.. ma potrei sbagliarmi
Il termine generale della serie è $1/3*(2/3)^n$. Poichè la serie converge, si può scrivere $sum_n1/3*(2/3)^n=1/3sum_n(2/3)^n$ Ora basta applicare la formula. L'unica discriminante è il punto di partenza della serie: Le cose infatti variano a seconda che si cominci da $n=0$ o da $n=1$.
ciao relegal... scusa ma mi ero dimenticato di scriverlo..
parte da 1...
ora col tuo ragionamento ho capito... non pensavo dovessi portarmi dietro 1/3 .... meglio così...
mentre per la prima serie che mi sai dire?
parte da 1...
ora col tuo ragionamento ho capito... non pensavo dovessi portarmi dietro 1/3 .... meglio così...
mentre per la prima serie che mi sai dire?
Infatti l'ho specificato.
E rivedendo ora, $lim_(n->+oo)x/n$ da qui si potrebbe vedere qualcosa.
Relegal che differenza c'è tra la formula per la somma:
$1/(1-q)$
e $sn=(1-x^(n+1))/(1-x)$ ?
vanno bene entrambe per la somma della serie che converge?
E rivedendo ora, $lim_(n->+oo)x/n$ da qui si potrebbe vedere qualcosa.
Relegal che differenza c'è tra la formula per la somma:
$1/(1-q)$
e $sn=(1-x^(n+1))/(1-x)$ ?
vanno bene entrambe per la somma della serie che converge?
clever non ti seguo più...
affinchè la serie converga quindi, la x deve valere 0 ???
perchè qualunque valore si dia alla x la serie è sempre maggiorante rispetto ad una serie convergente... quindi diverge sempre.
affinchè la serie converga quindi, la x deve valere 0 ???
perchè qualunque valore si dia alla x la serie è sempre maggiorante rispetto ad una serie convergente... quindi diverge sempre.
@Clever: Le due formule sono strettamente correlate: La prima serve a calcolare la somma $sum_(n=0)^(+oo)a_n$, la seconda invece è l'espressione per il calcolo delle somme parziali della medesima serie. Infatti, puoi notare che, utilizzando le tue notazioni. $s_n->1/(1-x)$ per $n->+oo$.
@Andy: Scusa ma vado di fretta. L'ho guardata al volo e ti posso dire che $a/n$ è termine generale di una succesione divergente $AA a in RR-{0}$. Senza pensarci troppo mi verrebbe da dirti di utilizzare il confronto con l'integrale per dimostrarlo.
Scusa la fretta, spero possa esserti comunque d'aiuto quanto ti ho detto, buono studio !
@Andy: Scusa ma vado di fretta. L'ho guardata al volo e ti posso dire che $a/n$ è termine generale di una succesione divergente $AA a in RR-{0}$. Senza pensarci troppo mi verrebbe da dirti di utilizzare il confronto con l'integrale per dimostrarlo.
Scusa la fretta, spero possa esserti comunque d'aiuto quanto ti ho detto, buono studio !
è vero, hai ragione, è pieno di metodi per risolvere le serie e tutte le volte me ne sfugge qualcuno....
con l'integrale generalizzato naturalmente ho dimostrato che la serie diverge perchè l'integrale è il log(n)
e per n che tende ad infinito fa infinito, mentre a 0 fa meno infinito...(ma col meno davanti fa ancora più infinito)
quindi l'integrale generalizzato non ha un limite finito e quindi diverge qualunque costante moltiplicativa ci sia al numeratore.
ricapitolando, per aiutare sia me stesso a fare mente locale, sia altri
(correggetemi se sbaglio)
per risolvere le serie si può provare
il metodo degli integrali generalizzati
le serie di taylor quando gli asintoci non vanno bene
la razionalizzazione quando cè una somma o differenza di radici
più tutti gli altri metodi del confronto, rapporto e della radice...
con l'integrale generalizzato naturalmente ho dimostrato che la serie diverge perchè l'integrale è il log(n)
e per n che tende ad infinito fa infinito, mentre a 0 fa meno infinito...(ma col meno davanti fa ancora più infinito)
quindi l'integrale generalizzato non ha un limite finito e quindi diverge qualunque costante moltiplicativa ci sia al numeratore.
ricapitolando, per aiutare sia me stesso a fare mente locale, sia altri
(correggetemi se sbaglio)
per risolvere le serie si può provare
il metodo degli integrali generalizzati
le serie di taylor quando gli asintoci non vanno bene
la razionalizzazione quando cè una somma o differenza di radici
più tutti gli altri metodi del confronto, rapporto e della radice...
@andy
allora per quale valore questa serie converge? nessuno? :S
In effetti, il confronto asintotico è quello più veloce e sicuro (per me), ma la serie di taylor va benissimo se il confronto asintotico non funziona.
allora per quale valore questa serie converge? nessuno? :S
In effetti, il confronto asintotico è quello più veloce e sicuro (per me), ma la serie di taylor va benissimo se il confronto asintotico non funziona.
secondo me converge solamente se a è uguale a 0
perchè rimane un numero fratto un n elevato alla seconda...
quindi converge...
no?
perchè rimane un numero fratto un n elevato alla seconda...
quindi converge...
no?
anzi no... ho sbagliato...
non è mai convergente... l'ho spiegato prima il perchè...
però dalla tua risposta mi semra di capire che ho sbagliato...
mi dici perchè?
non è mai convergente... l'ho spiegato prima il perchè...
però dalla tua risposta mi semra di capire che ho sbagliato...
mi dici perchè?
No, non hai sbagliato, alla fine vuol dire che questa serie non converge mai, ed è sempre divergente per qualunque valore reale che diamo alla $a$ tranne lo $0$.
Potrebbe però convergere per $0$, perchè se non ricordo male $0/oo$ non è una forma indeterminata, e tuttavia potrebbe confermare la regola necessaria, ma non sufficiente, per la convergenza della serie, non trovi?
Potrebbe però convergere per $0$, perchè se non ricordo male $0/oo$ non è una forma indeterminata, e tuttavia potrebbe confermare la regola necessaria, ma non sufficiente, per la convergenza della serie, non trovi?
ho verificato e anche se a è zero
la funzione è maggiorante rispetto alla serie convergente... quindi non converge...
XD
la funzione è maggiorante rispetto alla serie convergente... quindi non converge...
XD
E' chiaro.
Non c'è alcun valore di $a$ affinchè la serie converga.
Non c'è alcun valore di $a$ affinchè la serie converga.
No no, $sum_(n=1)^(+oo)4/(n(n+1))$ converge ! Il termine generale è asintotico a$4/n^2$ e se ti è comodo, ancora puoi utilizzare il metodo dell'integrale per convincerti che la serie associata converge.
Perciò, $sum_(n=1)^(+oo)4/(n(n+1))=4sum_(n=1)^(+oo)1/(n(n+1))$. Di questa serie (detta di Mengoli ), si è anche in grado di calcolare il valore della somma, prova
Perciò, $sum_(n=1)^(+oo)4/(n(n+1))=4sum_(n=1)^(+oo)1/(n(n+1))$. Di questa serie (detta di Mengoli ), si è anche in grado di calcolare il valore della somma, prova
edit: mi riferivo a clever perchè pensavo fossimo arrivati ad una conclusione, ma invece hai portato novità ulteriori tu !!!
Figurati, alla prossima !
allora mi son perso...
dunque
è vero che con l'integrale generalizzato 4/n^2 converge... perchè il limite è finito...
ma è anche vero però che 4/n^2 è maggiore di 1/n^2....
quindi, per risolverlo con in metodo del confronto con quale serie dovrei confrontarlo?
disegnando le funzioni f(x) = 4/x^2 e f(x) = 1/x^2
viene che la prima sta sopra... quindi non è possibile apllicare il criterio del confronto...
allora, provando con f(x) = 1/x^3/2 viene ancora che la funzione in questione sta sopra...
nello stesso tempo è anceh minorante rispetto alla serie armonica 1/x...
quindi, per concludere una volta per tutte... questa serie come si risolve?
solamente con l'integrale generalizzato si può arrivare ad una conclusione?
chiaritemi leidee perchè tra un giorno ho l'esame e non vorrei avere dubbi in questione !!!
grazie mille
INFINE
la somma per caso fa 4 ??? così ripasso anche questa !!!
dunque
è vero che con l'integrale generalizzato 4/n^2 converge... perchè il limite è finito...
ma è anche vero però che 4/n^2 è maggiore di 1/n^2....
quindi, per risolverlo con in metodo del confronto con quale serie dovrei confrontarlo?
disegnando le funzioni f(x) = 4/x^2 e f(x) = 1/x^2
viene che la prima sta sopra... quindi non è possibile apllicare il criterio del confronto...
allora, provando con f(x) = 1/x^3/2 viene ancora che la funzione in questione sta sopra...
nello stesso tempo è anceh minorante rispetto alla serie armonica 1/x...
quindi, per concludere una volta per tutte... questa serie come si risolve?
solamente con l'integrale generalizzato si può arrivare ad una conclusione?
chiaritemi leidee perchè tra un giorno ho l'esame e non vorrei avere dubbi in questione !!!
grazie mille
INFINE
la somma per caso fa 4 ??? così ripasso anche questa !!!
Attento: è vero che $4/n^2>1/n^2$, ci mancherebbe 
, però questa relazione non implica la divergenza della serie che stiamo esaminando. Potremmo arrivare a questa conclusione qualora riuscissimo a scrivere $4/n^2>a_n$ con $suma_n$ che diverge.
Per il resto, il valore $4$ è il risultato corretto.
, però questa relazione non implica la divergenza della serie che stiamo esaminando. Potremmo arrivare a questa conclusione qualora riuscissimo a scrivere $4/n^2>a_n$ con $suma_n$ che diverge.Per il resto, il valore $4$ è il risultato corretto.
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