Serie convergente

[domenico.migl]

Come capire se $\sum_(n=1)^(\infty) a_n$ è una serie convergente?

[feddy]

$a_n$ è il termine generale della serie che per convenzione è scritto così in molti testi.

Quando tu passi al limite non sai come è fatto $a_n$, potrebbe essere $a_n = 1/n $ e pertanto il limite tende a 0 (condizione necessaria di convergenza).

Per verificare la convergenza delle serie numeriche ci sono vari criteri che presumo tu debba ancora vedere...

[domenico.migl]

"feddy":$a_n$ è il termine generale della serie che per convenzione è scritto così in molti testi.

Quando tu passi al limite non sai come è fatto $a_n$, potrebbe essere $a_n = 1/n $ e pertanto il limite tende a 0 (condizione necessaria di convergenza).

Per verificare la convergenza delle serie numeriche ci sono vari criteri che presumo tu debba ancora vedere...

Sto studiando il criterio di condensazione di Cauchy. Questo afferma che data una serie $\sum_(n=1)^(\infty)(a_n)$ con $a_n >=0 \forall n \in N$ e $a_n>=a_(n+1) \forall n \in N$ (quindi è una successione monotona non crescente) $\sum_(n=1)^(\infty)(a_n)$ è convergente $<=>$ $\sum_(n=1)^(\infty)(2^na_(2^n))$ è convergente.

Dimostrazione (Condizione Necessaria):

Sia $a_n$ una successione non negativa crescente. Se la serie iniziale converge (per ipotesi), raccogliendo i termini della serie in gruppi di lunghezza $2^n$ si ottiene:

$\sum_(n=1)^(\infty)(a_n) = a_1 + a_2 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + ... + a_(2^n) + a_(2^n+1) + ... + a_(2^(n+1)-1) <= a_1 + 2a_2 + 4a_4 + ... + 2^na_(2^n) + .. = \sum_(n=1)^(\infty)(2^na_(2^n))$

e quindi converge anche la seconda serie.

Perchè dice che $\sum_(n=1)^(\infty)(2^na_(2^n))$ converge??

[feddy]

Penso sfrutti il fatto che la successione è decrescente e utilizzi il teorema del confronto..

[domenico.migl]

"feddy":Penso sfrutti il fatto che la successione è decrescente e utilizzi il teorema del confronto..

Alla fine il teorema finisce cosi:

$\sum_(n=1)^(\infty)(a_n) <= \sum_(n=1)^(\infty)(2^na_(2^n)) <= 2\sum_(n=1)^(\infty)(a_n)$

Quindi se riesco a dimostrare che $ 2\sum_(n=1)^(\infty)(a_n)$ è convergente, per il criterio del confronto applicato alle serie a termini non negativi dimostro la tesi. Il problema sta nel capire perchè quella serie converge.. Secondo te è una serie limitata?? Perchè se fosse così riportandola alla successione del termine generico $a_n$ essendo questa una successione monotona crescente e pure limitata allora è convergente.

Che ne dici?