Serie: converge o diverge??
Io so questo (che potrebbe essere anche sbagliato):
Se devo studiare il carattere di una successione in primis calcolo il limite della successione (per n ---> oo) dell'argomento generico della serie;
- se il limite NON mi viene infinitesimo è inutile che faccio altri calcoli, giusto??.. se il limite NON è infinitesimo la serie diverge. (giusto?)
(sul mio libro io leggo:
Se una serie è convergente i lim (per n --> oo) della successione è = 0.
Per modus tollens (o diciamo, per assurdo) mi sembra ovvio che se il limite NON tende a 0, la serie diverge.
questo è il ragionamento che ho fatto).
Se quello che ho scritto è giusto, c'è un'altra domanda che mi sorge:
Data la seguente serie, a termini positivi:
$ sum_n ( n^2 + 1 ) / ( n^2 + 2*n +3 ) $
il limite dell'argomento generico ---> 1 quindi la serie dovrebbe essere divergente..
....MA....
Se io la maggioro con la successione $ sum_n ( n^2 + 1 ) / ( n^2 ) $ e la riscrivo come $ sum_n 1 + 1 / ( n^2 ) $ questa mi risulta convergente!!
domanda: com'è possibile che una successione sia sia divergente che convergente??
DOVE CACCHIO SBAGLIO??
Se devo studiare il carattere di una successione in primis calcolo il limite della successione (per n ---> oo) dell'argomento generico della serie;
- se il limite NON mi viene infinitesimo è inutile che faccio altri calcoli, giusto??.. se il limite NON è infinitesimo la serie diverge. (giusto?)
(sul mio libro io leggo:
Se una serie è convergente i lim (per n --> oo) della successione è = 0.
Per modus tollens (o diciamo, per assurdo) mi sembra ovvio che se il limite NON tende a 0, la serie diverge.
questo è il ragionamento che ho fatto).
Se quello che ho scritto è giusto, c'è un'altra domanda che mi sorge:
Data la seguente serie, a termini positivi:
$ sum_n ( n^2 + 1 ) / ( n^2 + 2*n +3 ) $
il limite dell'argomento generico ---> 1 quindi la serie dovrebbe essere divergente..
....MA....
Se io la maggioro con la successione $ sum_n ( n^2 + 1 ) / ( n^2 ) $ e la riscrivo come $ sum_n 1 + 1 / ( n^2 ) $ questa mi risulta convergente!!
domanda: com'è possibile che una successione sia sia divergente che convergente??
DOVE CACCHIO SBAGLIO??
Risposte
DOVE CACCHIO SBAGLIO??
$ sum_n 1 + 1 / ( n^2 ) $ questa mi risulta convergente!!
l'uno non lo posso portare fuori dalla sommatoria?? O_O
Oddio.. ti prego Dio.. dimmi che non sono così idiota.. mi stai dicendo che la serie in quel caso somma ad ogni passo "1 + qualcosina"?? O_O
[mod="gugo82"]Post scriptum cancellato.[/mod]
Oddio.. ti prego Dio.. dimmi che non sono così idiota.. mi stai dicendo che la serie in quel caso somma ad ogni passo "1 + qualcosina"?? O_O
[mod="gugo82"]Post scriptum cancellato.[/mod]
certo che lo puoi portare fuori! Solo che non nel modo in cui hai probabilmente pensato :\
$ sum 1 + 1/n^2 = sum 1 + sum 1/n^2 = +oo $
$ sum 1 + 1/n^2 = sum 1 + sum 1/n^2 = +oo $
[mod="gugo82"]@Vegetabbo: Sulle pagine di codesto forum non è permesso offendere altri utenti o persone in generale (nemmeno tuoi conoscenti, tuoi compaesani, tuoi colleghi, etc...); pertanto ho eliminato il tuo post scriptum qui.
Mi auguro che il tuo P.S. volesse essere scherzoso: tuttavia il linguaggio usato non era tollerabile.
Auspico che tu voglia usare un linguaggio più consono la prossima volta.[/mod]
Mi auguro che il tuo P.S. volesse essere scherzoso: tuttavia il linguaggio usato non era tollerabile.
Auspico che tu voglia usare un linguaggio più consono la prossima volta.[/mod]
Era verso compagni di università cui avevo linkato questa discussione su facebook.. chiedo scusa per il turpiloquio, ma fra amici a Roma si fa..
ps: non si ripeterà, ovviamente..
ps: non si ripeterà, ovviamente..
inutile fare un altro post, continuo su questo:
$ sum_n ( n^2 + n * sin(n) ) / ( n^6 +1 ) $
Io ho visto che il limite dell'argomento generico va a zero, per cui cosa faccio dopo?
raccolgo a numeratore n^2 e al denominatore n^6 (e li semplifico) e vedo che per n ---> oo la sommatoria
la posso riscrivere così: $ sum_n ( 1 + 1 / n ) / ( n^4 ( 1 + 1 / (n^4) ) $ che è MINORE di $ sum_n 1 / n^2 $ che converge.
-----ERGO----->
Converge anche la mia serie di partenza.
C'è qualcosa di sbagliato in questo ragionamento??
$ sum_n ( n^2 + n * sin(n) ) / ( n^6 +1 ) $
Io ho visto che il limite dell'argomento generico va a zero, per cui cosa faccio dopo?
raccolgo a numeratore n^2 e al denominatore n^6 (e li semplifico) e vedo che per n ---> oo la sommatoria
la posso riscrivere così: $ sum_n ( 1 + 1 / n ) / ( n^4 ( 1 + 1 / (n^4) ) $ che è MINORE di $ sum_n 1 / n^2 $ che converge.
-----ERGO----->
Converge anche la mia serie di partenza.
C'è qualcosa di sbagliato in questo ragionamento??
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