Serie converge a 0 o ad un altro valore?

[aleputo]

Salve a tutti, sto svolgendo un esercizio in cui mi si chiede di stabilire se la serie di

[math]\sum_{n=1}^{\infty} sin(n)* sin{(1/n)}* tan{(1/n)}[/math]

converge a 0 o a l diverso da 0 o se diverge.

studiando la convergenza assoluta della serie giungo alla conclusione che questa converge, ma tra le opzioni di risposta c'è

a)converge a 0
b)converge a l != 0

come si fa a capirlo?

Grazie in anticipo :)

[davi02]

La somma è L > 0.
Questo perché il primo termine della serie è

sin²(1)tan(1) = 1,1... > 1

e per n ≥ 2,

|sin(n)sin(1/n)tan(1/n)| ≤
sin(1/n)tan(1/n) ≤
sin(1/n)tan(1/2)(2/n) ≤
(1/n)tan(1/2)(2/n) =
2tan(1/2)(1/n²)

quindi la somma dei valori assoluti dei termini di indice n ≥ 2 è maggiorata da

2tan(1/2)(π²/6 – 1) = 0,70... < 0,8

Ne segue che L > 0,2