Serie con parametro

[izzy111]

Buonasera a tutti, mi sono imbattuta in questo esercizio che prevede di studiare il comportamento della serie $ sum_(n = \0rarr +oo )((a^2+1)/(a-1))^n $ al variare del parametro a.
Ho applicato il criterio del rapporto, ritrovandomi a dover fare il limite $ lim_(n -> +oo ) |(a^2+1)/(a-1)| $ che ovviamente risulta $ |(a^2+1)/(a-1)| $
A questo punto sono andata a calcolare la disequazione $ |(a^2+1)/(a-1)|<1 $ scomponendola nelle due
$ (a^2+1)/(a-1)<1 $ dalla quale ottengo $ a<1 $ e
$ (a^2+1)/(a-1)> -1 $ dalla quale invece ottengo $ -11 $
A questo punto non saprei come procedere perchè, dovendo prendere l'unione delle soluzioni, otterrei $ AA a != 1 $ invece che $ -1 Nella soluzione riporta che la serie è, con $ a!= 1 $,
convergente per $ -1 divergente per $ a>1 $ (che dovrei ottenere risolvendo la stessa disequazione di partenza ma ponendola meggiore di 1 anzichè minore?)
oscillante per $ a>=1 $ e $ 0<=a<1 $

[pilloeffe]

Ciao izzy11,

Si tratta semplicemente di una serie geometrica di ragione $q := (a^2+1)/(a-1) $ che converge se $|q| < 1 \iff |(a^2+1)/(a-1)| < 1 $ ed in tal caso si ha:

$ sum_{n = 0}^{+\infty}((a^2+1)/(a-1))^n = frac{1}{1 - frac{a^2 + 1}{a - 1}} = frac{1 - a}{a^2 - a + 2} $

$ |(a^2+1)/(a-1)| < 1 \iff - 1 < a < 0 $

[izzy111]

Il ragionamento l'ho fatto proprio pensando alla serie geometrica, ma nelle soluzioni riporta anche i valori di a per cui la serie diverge e per cui la serie oscilla e non saprei come trovarli

[pilloeffe]

Basta che dai un'occhiata alla teoria sulla serie geometrica, ad esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_geometrica

La serie geometrica proposta è:
- divergente per $q \ge 1 \iff a > 1 $;
- indeterminata/oscillante per $q \le - 1 \iff a \le - 1\vv 0 \le a < 1 $

[izzy111]

Ricontrollerò i calcoli, grazie mille!