Serie con parametro
Devo studiare questa serie
$ sum_(n=1)((e^n*x^n)/(x^(2n)+n)) $
al variare del parametro reale x con $ |x|>=1 $
potete darmi qualche consiglio su come fare?
$ sum_(n=1)((e^n*x^n)/(x^(2n)+n)) $
al variare del parametro reale x con $ |x|>=1 $
potete darmi qualche consiglio su come fare?
Risposte
Potresti secondo me studiarti separatamente i casi in cui $x \in {+-1}$.
Per $x > 1$ la serie è a termini positivi : la successione di supporto non è infinitesima e quindi che ne deduci?
per $x<-1$ dovrei pensarci.
Per $x > 1$ la serie è a termini positivi : la successione di supporto non è infinitesima e quindi che ne deduci?
per $x<-1$ dovrei pensarci.
per x = 1 ok la serie diverge ed è abbastanza evidente ma per l'altro caso?
Per $x>1$ la serie è a termini positivi.
Possiamo usare il criterio della radice.
Abbiamo che $lim ( \root(n) ( (e^n * x^n )/(x^(2n)+n) )= ....= e/x$ , sapresti continuare?
Possiamo usare il criterio della radice.
Abbiamo che $lim ( \root(n) ( (e^n * x^n )/(x^(2n)+n) )= ....= e/x$ , sapresti continuare?
per $ x
esatto.
Per $x=-1$
la tua serie diventa $ \sum_(i=1) (e^n *(-1)^n)/(1+n)$. Se valutiamo la serie dei valori assoluti , questa diverge , quindi la serie diverge assolutamente. Ma questo non ci dice nulla circa la convergenza / divergenza della serie madre.
Però puoi notare che $a_n = (e^n(-1)^n)/(1+n)$ è una successione irregolare, infatti $a_(2k ) -> +\infty$ e $a_(2k+1) -> - \infty$. Quindi non è infinitesima. Dal non essere infinitesima ne deduci che sicuramente la tua serie non converge. (potevi dedurlo anche negando Liebiniz)
Se $x < -1$, l'unica cosa che puoi fare è studiare l'assoluta convergenza. Consideri dunque :
$\sum ( | (e^n * x^n)/(x^(2n)+n|$, vedi un po che ne cavi fuori.
Per $x=-1$
la tua serie diventa $ \sum_(i=1) (e^n *(-1)^n)/(1+n)$. Se valutiamo la serie dei valori assoluti , questa diverge , quindi la serie diverge assolutamente. Ma questo non ci dice nulla circa la convergenza / divergenza della serie madre.
Però puoi notare che $a_n = (e^n(-1)^n)/(1+n)$ è una successione irregolare, infatti $a_(2k ) -> +\infty$ e $a_(2k+1) -> - \infty$. Quindi non è infinitesima. Dal non essere infinitesima ne deduci che sicuramente la tua serie non converge. (potevi dedurlo anche negando Liebiniz)
Se $x < -1$, l'unica cosa che puoi fare è studiare l'assoluta convergenza. Consideri dunque :
$\sum ( | (e^n * x^n)/(x^(2n)+n|$, vedi un po che ne cavi fuori.
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