Serie con integrale dipendente da parametro
Ciao a tutti.
Ho trovato questo esercizio che non so neanche come iniziare
Sia $f_{n}(x)=\int_{0}^{1} e^-(n|x|t) sin(n|x|t)/t dt$ con $x\in \mathbb{R}$.
Studiare la convergenza semplice totale e uniforme della serie di termine generale $f_{n}(x)$.
Intanto ho controllato che fosse ben definito l'integrale e lo è, dopodiché ho visto dove fosse infinitesima la f per vedere dove potrebbe aversi convergenza semplice, però la roba dentro l'integrale non mi viene uniformemente convergente e neanche a maggiorarla con qualcosa di sommabile per usare il TCD quindi non riesco a passare il limite sotto l'integrale.
Ma anche se fosse, ammesso che questo effettivamente serva e che ci riesca, poi come dovrei studiarla una tale serie?
Ho trovato questo esercizio che non so neanche come iniziare
Sia $f_{n}(x)=\int_{0}^{1} e^-(n|x|t) sin(n|x|t)/t dt$ con $x\in \mathbb{R}$.
Studiare la convergenza semplice totale e uniforme della serie di termine generale $f_{n}(x)$.
Intanto ho controllato che fosse ben definito l'integrale e lo è, dopodiché ho visto dove fosse infinitesima la f per vedere dove potrebbe aversi convergenza semplice, però la roba dentro l'integrale non mi viene uniformemente convergente e neanche a maggiorarla con qualcosa di sommabile per usare il TCD quindi non riesco a passare il limite sotto l'integrale.
Ma anche se fosse, ammesso che questo effettivamente serva e che ci riesca, poi come dovrei studiarla una tale serie?
Risposte
Ciao Reyzet,
Mah, così ad occhio la $f_n(x) $ proposta mi pare "confezionata" per essere derivata rispetto a $x $ in modo da far sparire quella fastidiosa $t $ al denominatore della frazione...
Mah, così ad occhio la $f_n(x) $ proposta mi pare "confezionata" per essere derivata rispetto a $x $ in modo da far sparire quella fastidiosa $t $ al denominatore della frazione...
Avevo già provato a derivare sotto il segno di integrale (mi sembra che le ipotesi per farlo ci siano) e ottengo svolgendo il tutto, se non ci sono errori (per esempio pongo x positivo e lavoro lì per ora)
$f'_{n}(x)=e^(-nx) sin(nx)/x$ che è molto simile alla f, in ogni caso non si integra elementarmente questa cosa (credo) quindi non riesco a ricavare f.
$f'_{n}(x)=e^(-nx) sin(nx)/x$ che è molto simile alla f, in ogni caso non si integra elementarmente questa cosa (credo) quindi non riesco a ricavare f.
Attenzione che derivando rispetto a $x $ la $t $ è come se fosse una costante, quindi salvo errori mi risulta
$f'_n(x) = \frac{n x e^{-n|x| t}}{|x|}[cos(n|x|t) - sin(n|x|t)] = (sqrt(2) e^(-n |x| t) n x sin(\pi/4 - n |x|t))/|x| $
che non è proprio elementarmente integrabile in $t $, ma insomma si tratta di integrali abbastanza standard, dai un'occhiata qui.
$f'_n(x) = \frac{n x e^{-n|x| t}}{|x|}[cos(n|x|t) - sin(n|x|t)] = (sqrt(2) e^(-n |x| t) n x sin(\pi/4 - n |x|t))/|x| $
che non è proprio elementarmente integrabile in $t $, ma insomma si tratta di integrali abbastanza standard, dai un'occhiata qui.
Ma infatti avevo già derivato l'integrando rispetto a x ottenendo quello che hai ottenuto tu, poi va integrato rispetto a t e valutato tra 0 e 1 no?
Infatti il teorema che conosco io dice che sotto certe ipotesi (se chiamo g l'integrando) avremmo $f'_{n}(x)=\int_{0}^{1} d/dx g$
Infatti il teorema che conosco io dice che sotto certe ipotesi (se chiamo g l'integrando) avremmo $f'_{n}(x)=\int_{0}^{1} d/dx g$
"Reyzet":
Ma infatti avevo già derivato l'integrando rispetto a x ottenendo quello che hai ottenuto tu, poi va integrato rispetto a t e valutato tra 0 e 1 no?
Sì, se non ho fatto male i conti risulta
$f'(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} f'_n(x) = \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{x e^{- n|x|}sin(n|x|)}{|x|^2} = x/|x|^2 \sum_{n = 1}^{+\infty} e^{- n|x|}sin(n|x|) $
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