Serie con il criterio del rapporto.
Scusate in anticipo se non scrivo come dovrei..ma come si fa?C e qualche topic che lo spiega?
Ho problemi con questa serie:
n che va da 1 a infinito di 99^n/n!
Usando il criterio del rapporto arrivo a: [99^n+1/(n+1)!] * [n!/99^n].
Come mai il libro mi da il limite di 99/n+1?? che da 0.
Grazie..
Ho problemi con questa serie:
n che va da 1 a infinito di 99^n/n!
Usando il criterio del rapporto arrivo a: [99^n+1/(n+1)!] * [n!/99^n].
Come mai il libro mi da il limite di 99/n+1?? che da 0.
Grazie..
Risposte
Qui puoi trovare una guida su come scrivere le formule: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{99}}{n!}\]
devi considerare l'ordine di infinito nel calcolo del limite
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^{99}}{n!}\]
devi considerare l'ordine di infinito nel calcolo del limite
Forse ho capito:
99^n+1 diventa 99^n*99 e
(n+1)! diventa (n+1)! * n! ??
99^n+1 diventa 99^n*99 e
(n+1)! diventa (n+1)! * n! ??
esatto, ma $(n+1)! = n!( n+1)$
Non ho capito la risposta comunque e sempre 99^n e non viceversa.. 
ok meno male..
Sono ora bloccato con questi 2:
1- $ n! $ / $ n^n $
2- $ (2n)!$ $/ (n!)^2 $
Il primo arrivo a [$ (n+1)! $ / $(n+1)$^n+1] * [$ n^n $/$ n! $] e mi blocco..da 1/e
1- $ n! $ / $ n^n $
2- $ (2n)!$ $/ (n!)^2 $
Il primo arrivo a [$ (n+1)! $ / $(n+1)$^n+1] * [$ n^n $/$ n! $] e mi blocco..da 1/e
perchè ti blocchi? il criterio del rapporto cosa dice
PS inserisci le formule tra il simbolo del dollaro cosi le vediamo meglio
PS inserisci le formule tra il simbolo del dollaro cosi le vediamo meglio
Non saprei..oltre che converge se k < 1 e diverge se e > 1 e se e = 1 non stabilisce il comportamento della serie.
cosè $k$, cos'è $e$???
Il criterio del rapporto ti dice che se il limite del rapporto $a_{n+1}/a_n$ è minore di $1$ la serie converge, se è $>1$ la serie diverge se $=1$ il criterio è inefficacie
Il criterio del rapporto ti dice che se il limite del rapporto $a_{n+1}/a_n$ è minore di $1$ la serie converge, se è $>1$ la serie diverge se $=1$ il criterio è inefficacie
Sono un po' arrugginito quindi spero di non aver fatto errori di calcolo. Comunque ti mostro il tuo primo esempio:
\(\displaystyle \sum\frac{n!}{n^n}\)
Ora \(\displaystyle a_{n+1} = \frac{n!\cdot(n+1)}{(n+1)\cdot(n+1)^n} = \frac{n!}{(n+1)^n}\)
Quindi
\begin{align}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} &= \frac{n!}{(n+1)^n}\biggl(\frac{n!}{n^n}\biggr)^{-1} \\
&= \frac{n!}{(n+1)^n}\frac{n^n}{n!} \\
&= \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^n \\
&= \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^{-n}
\end{align}
[EDIT] Mi sono accorto che non era necessario usare esponenziali e logaritmi
\(\displaystyle \sum\frac{n!}{n^n}\)
Ora \(\displaystyle a_{n+1} = \frac{n!\cdot(n+1)}{(n+1)\cdot(n+1)^n} = \frac{n!}{(n+1)^n}\)
Quindi
\begin{align}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} &= \frac{n!}{(n+1)^n}\biggl(\frac{n!}{n^n}\biggr)^{-1} \\
&= \frac{n!}{(n+1)^n}\frac{n^n}{n!} \\
&= \biggl(\frac{n}{n+1}\biggr)^n \\
&= \biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr)^{-n}
\end{align}
[EDIT] Mi sono accorto che non era necessario usare esponenziali e logaritmi
Scusa ho scritto male "e" non era una variabile ma una congiunzione..k sarebbe il risultato del limite..quindi hai confermato quello che ho detto io..pero ritornando all esempio,come capisco cosa devo fare?
ti ha risposto Vict85 relativamente al primo esercizio, e l'esperienza, che significa solamente il fare esercizi, ti aiuterà ad individuare il criterio più adatto per affrontare lo studio del carattere delle serie
Mi ero accorto di aver fatto molti calcoli inutili preso dalla mania di trasformare \(n^n\) in \(e^{n\ln n}\). Ho editato.
Ma all inizio non dovrebbe essere $ (n+1)! $ * $ n^n $ / $(n+1)$ $ ^n+1$ * $ n! $ ??
il termine generale $a_n$ è
\begin{align}a_n=\frac{n!}{n^n}\Rightarrow\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}\end{align}
\begin{align}a_n=\frac{n!}{n^n}\Rightarrow\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\displaystyle\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\displaystyle\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}\end{align}
Si e propio da qui che non riesco a continuare..
e che c'è da fare, hai letto il messaggio di Vic85 (dove correggendo ha dimenticato un $(n+1)!$
in ogni caso il procedimento era quello: devi calcolare il limite:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}&=\lim_{n\to+\infty} \frac{n!(n+1)}{(n+1)^{n }\cdot(n+1)}\cdot\frac{n^n}{n!}=\lim_{n\to+\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n } }\\
& =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n }{ n+1 }\right) ^{n }=\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{n }=\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{n+1-1 }\\
&=\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{n+1}\cdot \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{-1}=\frac{1}{e}
in ogni caso il procedimento era quello: devi calcolare il limite:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}&=\lim_{n\to+\infty} \frac{n!(n+1)}{(n+1)^{n }\cdot(n+1)}\cdot\frac{n^n}{n!}=\lim_{n\to+\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n } }\\
& =\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n }{ n+1 }\right) ^{n }=\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{n }=\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{n+1-1 }\\
&=\lim_{n\to+\infty} \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{n+1}\cdot \left(1-\frac{1 }{ n+1 }\right) ^{-1}=\frac{1}{e}
Eh ma come si fanno le semplificazioni? per arrivare a lim di $n^n$ / $(n+1)$ $^n$ ?
...scusa ti ho fatto tutti i passaggi.... almeno leggi!
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