Serie con criterio di Dirichelet

[galles90]

Buongiorno,

ho la seguente serie

$sum_(n=1)^(infty) ((-1)^nsin(nx))/(sqrt(n))$

pensavo di procedere nel seguente modo

essendo che ne termine generale della serie, è presente il fattore $(-1)^n$, applico il criterio di convergenza assoluta, cioè

$|a_n|=|sin(nx)|/(sqrt(n))$

quindi ora si tratta di stabilire la convergenza della serie di termine $b_n=|a_n|$, quì, vorrei applicare il criterio di Dirichelet.
Ora qua mi blocco, se considero la successione complessa $e^(ikx)=cos(kx)+isen(kx)$, posso considerare valida anche $e^(ikx)=cos(kx)+ i|sen(kx)|$, mi verrabbe da pensare che sia valida anche quest'ultima, ma non riesco a formalizzarlo.

Ciao

[salvatoresambito]

Perché vuoi usare il criterio di Dirichelet? È una tua curiosità/voglia oppure lo richiede il testo dell'esercizio?

[galles90]

Ciao, è un esercizio correllato al criterio, diciamo che viene chiesto dall'esercizio

[gugo82]

Qual è l’enunciato del Criterio?

[pilloeffe]

Ciao galles90,

Potresti cominciare con l'osservare che per $0 < \alpha <= 1 $ e $x \in [0, 2\pi) $ si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{e^{i n x}}{n^{\alpha}} = \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{cos(nx)}{n^{\alpha}} + i \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{sin(nx)}{n^{\alpha}} $

Nel caso della serie proposta si ha $\alpha = 1/2 $ e quindi

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{sin(nx)}{\sqrt{n}} = Im[\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n \frac{e^{i n x}}{\sqrt{n}}] $

Dunque la serie proposta converge se converge quella fra parentesi quadre. Ora applicherei il criterio di Dirichlet considerando $a_n := \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ e $b_n := e^{i n x} $