Serie caso critico!!!

[brollino]

Ciao ragazzi! volevo porvi questa questione!!!
Per quale motivo se io ho la serie $ sum_(n=1)^(oo)n^4((x*(x-5))/(4+x^(2)))^n $ per n che va da 1 a infinito la serie mi dice che converge.
Ho fatto questo calcolo con il software Mathematica e mi dici che converge a un polinomio
$ [(4 + x^2) (-320 x + 4464 x^2 - 7500 x^3 + 6349 x^4 - 3475 x^5 + 1394 x^6 - 300 x^7 + 24 x^8)]/[(4 + 5 x)^5]$.
Se io però faccio il grafico di $[(x*(x-5))/(4+x)]$ mi dice ke anche a 1 ho ke x vale $-4/5$,e mi converge (in realtà a 1 non si può dire niente eppure mi da $-4/5$), se prendo valori inferiori a $-4/5$ mi dice che va a $ -oo $ .

Sapete darmi qualche risposta più approfindita del perchè???
Grazie mille in anticipo aspetto molti pareri!!!

Stefano.[/code][/quote]

[Sk_Anonymous]

Ciao, dovresti scrivere le formule tra i simboli di dollaro, altrimenti dubito che qualcuno abbia voglia di "decifrare" quello che hai scritto.

[Zero87]

"Soscia":Ciao, dovresti scrivere le formule tra i simboli di dollaro, altrimenti dubito che qualcuno abbia voglia di "decifrare" quello che hai scritto.

Infatti e posso assicurarti che è ancora più semplice di quello che si possa pensare.

Prendi quello che hai scritto (lo ricopio dal tuo post): (n^4)*[(x*(x+5))/(4+x)]^n
E ci metti un simbolo di dollaro prima e dopo: $(n^4)*[(x*(x+5))/(4+x)]^n$... et voilà!

Nel tuo caso tu intendi la serie che è un po' più complicata da scrivere del semplice polinomio $\sum_{n=0}^{+\infty} (n^4)*[(x*(x+5))/(4+x)]^n$.

Comunque non preoccuparti (per ora ) questo è il tuo primo post e nessuno ti tirerà le orecchie perché non hai usato le formule. Se poi qualche formula è particolarmente difficile c'è un editor di formule che si trova sotto le emoticon quando scrivi un messaggio. Basta cliccare sul tasto "formula" presente proprio sotto tali emoticon.

Ciao, benvenuto nel forum e buona permanenza...

[OT] Non ho risposto al problema semplicemente perché di serie di funzioni non mi ricordo nulla .

[brollino]

Grazie mille del conisiglio lo rimetto con le formule come hai detto te grazie.....non importa per la soluzione speriamo che qualcuno mi aiuti

[salvozungri]

$ sum_(n=1)^(oo)n^4((x*(x-5))/(4+x^(2)))^n $ può essere ricondotta ad una serie di potenze, ponendo $t=(x*(x-5))/(4+x^(2))$.
Studia $sum_(n=1)^(oo)n^4 t^n$, non è difficile, ti calcoli il raggio di convergenza $R$ (dovrebbe valere $1$), risolvi la disequazione $|t|

"brollino":[...]
Se io però faccio il grafico di $[(x*(x+5))/(4+x)]$ mi dice ke anche a 1 ho ke x vale $-4/5$,e mi converge (in realtà a 1 non si può dire niente eppure mi da $-4/5$), se prendo valori inferiori a $-4/5$ mi dice che va a $ -oo $ .

Sapete darmi qualche risposta più approfindita del perchè???

Stefano.

Potresti spiegarti meglio? Credo di non aver capito quale sia il tuo dubbio. Inoltre ti pregherei di inserire il nome degli oggetti con cui stai lavorando .


[Edit]: Vedi che ci sono problemi di segni nella funzione. Tu parti da $ sum_(n=1)^(oo)n^4((x*(x-5))/(4+x^(2)))^n $ e poi consideri $(x*(x+5))/(4+x^(2))$, cioè passi da $x-5$ a $x+5$, qual è la traccia corretta?

[brollino]

"Mathematico":$ sum_(n=1)^(oo)n^4((x*(x-5))/(4+x^(2)))^n $ può essere ricondotta ad una serie di potenze, ponendo $t=(x*(x-5))/(4+x^(2))$.
Studia $sum_(n=1)^(oo)n^4 t^n$, non è difficile, ti calcoli il raggio di convergenza $R$ (dovrebbe valere $1$), risolvi la disequazione $|t|
[quote="brollino"][...]
Se io però faccio il grafico di $[(x*(x+5))/(4+x)]$ mi dice ke anche a 1 ho ke x vale $-4/5$,e mi converge (in realtà a 1 non si può dire niente eppure mi da $-4/5$), se prendo valori inferiori a $-4/5$ mi dice che va a $ -oo $ .

Sapete darmi qualche risposta più approfindita del perchè???

Stefano.

Potresti spiegarti meglio? Credo di non aver capito quale sia il tuo dubbio. Inoltre ti pregherei di inserire il nome degli oggetti con cui stai lavorando .[/quote]

non riesco a capire perchè la serie mi converga a 1 quando metto il valore $-4/5$, cioè non dovrebbere convergere, a 1 non si può dire niente.
Se faccio con il software mi da quel polinomio ma non è corretto; dovrei fare come hai detto te giusto?
spero abbia capito

Comunque riguardo al nome degli oggetti per cosa intendi? sono nuovo qui dentro scusami!

[salvozungri]

Ci sono problemi di segno, passi da $(x(x-5))/(x^2+4)$ a $(x(x+5))/(x^2+4)$... Forse il problema può essere questo?

[brollino]

"Mathematico":Ci sono problemi di segno, passi da $(x(x-5))/(x^2+4)$ a $(x(x+5))/(x^2+4)$... Forse il problema può essere questo?

no nop scusa ho sbagliato a riscrivere dopo cmq è $(x(x-5))/(x^2+4)$
Usando il software Mathematica mi da questo...te per caso hai il software che ti faccio vedere mandando il notebook?

[salvozungri]

Non ce l'ho sul computer su cui sto scrivendo ora, ma guarda che non è necessario .

Facciamo così, chiamo [tex]$f(x)= \sum_{n=1}^\infty n^4 \left(\frac{x (x-5)}{x^2+4}\right)^n[/tex], valutando [tex]f[/tex] per [tex]x=-\frac{4}{5}[/tex] otterremo una serie numerica:

[tex]$f\left(-\frac{4}{5}\right)=\sum_{n=1}^\infty n^4[/tex] che è una serie che diverge positivamente. Ad ogni modo, inserisci il codice mathematica, lo emulo su wolfram alpha.

[brollino]

"Mathematico":Non ce l'ho sul computer su cui sto scrivendo ora, ma guarda che non è necessario .

Facciamo così, chiamo [tex]$f(x)= \sum_{n=1}^\infty n^4 \frac{x (x-5)}{x^2+4}[/tex], valutando [tex]f[/tex] per [tex]x=-\frac{4}{5}[/tex] otterremo una serie numerica:

[tex]$f\left(-\frac{4}{5}\right)=\sum_{n=1}^\infty n^4[/tex] che è una serie che diverge positivamente. Ad ogni modo, inserisci il codice mathematica, lo emulo su wolfram alpha.

ok ma guarda che la serie è $ sum_(n=1)^(oo)n^4((x*(x-5))/(4+x^(2)))^n $ è elevato alla n sul secondo fattore....
cmq non posso metterti il codice di mathematica mi da codici che poi nn riusciresti a mettere sul wolfram alpha... mi dispiace

[salvozungri]

sì hai ragione, ora edito, ma la cosa non cambia

[brollino]

"Mathematico":sì hai ragione, ora edito, ma la cosa non cambia

si hai ragione perchè cmq a $-4/5$ il secondo fattore è uguale a 1 e sarebbe $1^n$

[salvozungri]

Esatto! Ora hai sciolto il tuo dubbio?

[brollino]

"Mathematico":Esatto! Ora hai sciolto il tuo dubbio?

Sinceramente no forse son de coccio
perchè se metto $-4/5$ mi da 1 a quel valore mi dovrebbe dire che non converge perchè a 1 non si può dire niente e se uso valori minori di $-4/5$ mi da $-oo $ ora sto facendo confusione ma non dovrebbe essere da 0

[salvozungri]

Rispondi a queste domande:
Hai fatto a lezione la serie di potenze? Se ancora non hai trattato questo argomento, quali criteri conosci per verificare che la serie sia convergente? Infine ti chiedo un favore, chiudi per il momento mathematica, scrivi i passaggi che hai fatto per risolvere l'esercizio. Credo sia la cosa migliore da fare

[brollino]

"Mathematico":Rispondi a queste domande:
Hai fatto a lezione la serie di potenze? Se ancora non hai trattato questo argomento, quali criteri conosci per verificare che la serie sia convergente? Infine ti chiedo un favore, chiudi per il momento mathematica, scrivi i passaggi che hai fatto per risolvere l'esercizio. Credo sia la cosa migliore da fare

Si le ho fatto le serie di potenze, (io sto facendo ingegneria), sinceramente le serie non mi piacciono molto e le ho capite non molto bene, comunque noi facciamo laboratorio con Mathematica è vorrebbe che risolvessimo questa questione, per quello uso Mathematica, magari riuscivo ad avere dei chiarimenti con qualcuno che ne sa nettamente meglio di me su queste cose , il resto dell'analisi è capibile ma le serie sono una cosa ostica per me

[salvozungri]

Ok, cerchiamo di ragionare:

Abbiamo visto che
• se $|\frac{x(x-5)}{x^2+4}|<1$ allora la serie converge
• se $|\frac{x(x-5)}{x^2+4}|=1$ non si può dire nulla, in questo caso bisogna sporcarsi le mani e fare i conti
• se $|\frac{x(x-5)}{x^2+4}|>1$ la serie non converge.

Risolvendo la prima disequazione scopro che la serie converge se $x> -4/5$. Per $x=-4/5$, ricadiamo nel secondo caso, cioè non si può dire nulla a priori, ma possiamo indagare il comportamento andando a sostituire il valore nella serie e come abbiamo visto diverge. Per $x<-4/5$ ricadiamo nel terzo caso, cioè la serie non converge.

Matematicamente quindi abbiamo questa situazione, e mathematica dovrebbe rispettare queste regole.


(SE&O)

[brollino]

"Mathematico":Ok, cerchiamo di ragionare:

Abbiamo visto che
• se $|\frac{x(x-5)}{x^2+4}|<1$ allora la serie converge
• se $|\frac{x(x-5)}{x^2+4}|=1$ non si può dire nulla, in questo caso bisogna sporcarsi le mani e fare i conti
• se $|\frac{x(x-5)}{x^2+4}|>1$ la serie non converge.

Risolvendo la prima disequazione scopro che la serie converge se $x> -4/5$. Per $x=-4/5$, ricadiamo nel secondo caso, cioè non si può dire nulla a priori, ma possiamo indagare il comportamento andando a sostituire il valore nella serie e come abbiamo visto diverge. Per $x<-4/5$ ricadiamo nel terzo caso, cioè la serie non converge.

Matematicamente quindi abbiamo questa situazione, e mathematica dovrebbe rispettare queste regole.


(SE&O)

Si! infatti è corretto quello che hai detto Mathematica mi svolge la serie e mi da questo immenso polinomio
$((4 + x^2) (-320 x + 4464 x^2 - 7500 x^3 + 6349 x^4 - 3475 x^5 + 1394 x^6 - 300 x^7 + 24 x^8))/(4 + 5 x)^5$
se metti $-4/5$ nel polinomio mi dice che impossibile perchè al denominatore ho $0^5$
con valori minori di $-4/5$ mi da $-oo$ e con valori maggiori di $-4/5$ mi dice che converge anche li!!!
quindi per quale motivo il software mi sputa quel polinomio, cioè mi dice che converge e diverge dappertutto, quando invece a $-4/5$ è impossibile????
io ho anche plottato la serie e con n gli ho fatto un manipulate a la funzione è sempre continua.....ho provato a verificare se a $-4/5$ ci fosse un flesso visto l'andatura della funzione ma facendo la derivata seconda e ponendola =0 non mi da il risultato ottenuto.....forse il programma mi prolungua per continuità nel punto a x=$-4/5$ ? il prof secondo me sa il motivo ma vuole che ci sforziamo a capire io le sto tentando tutte!!!! è una serie maledetta!!!!
http://img513.imageshack.us/img513/3144/seriej.jpg
questi sono i grafici....dimmi se riesci a vederli perchè non so mettere le immagini qui dentro[/img]

[salvozungri]

"brollino":
Si! infatti è corretto quello che hai detto Mathematica mi svolge la serie e mi da questo immenso polinomio
$((4 + x^2) (-320 x + 4464 x^2 - 7500 x^3 + 6349 x^4 - 3475 x^5 + 1394 x^6 - 300 x^7 + 24 x^8))/(4 + 5 x)^5$(<= Questo non è un polinomio!!)
se metti $-4/5$ nel polinomio mi dice che impossibile perchè al denominatore ho $0^5$
con valori minori di $-4/5$ mi da $-oo$ e con valori maggiori di $-4/5$ mi dice che converge anche li!!!
quindi per quale motivo il software mi sputa quel polinomio, cioè mi dice che converge e diverge dappertutto, quando invece a $-4/5$ è impossibile????
io ho anche plottato la serie e con n gli ho fatto un manipulate a la funzione è sempre continua.....ho provato a verificare se a $-4/5$ ci fosse un flesso visto l'andatura della funzione ma facendo la derivata seconda e ponendola =0 non mi da il risultato ottenuto.....forse il programma mi prolungua per continuità nel punto a x=$-4/5$ ? il prof secondo me sa il motivo ma vuole che ci sforziamo a capire io le sto tentando tutte!!!! è una serie maledetta!!!!

Sì, forse ho capito (sottolineo forse), in pratica, la nostra serie coincide con quella funzione razionale fratta solo nell'insieme di convergenza(!) (quindi la serie e la funzione coincidono solo per $x> -4/5$), nel complementare dell'insieme di convergenza, la serie non converge, mentre la funzione fa quello che vuole

[brollino]

"Mathematico":[quote="brollino"]
Si! infatti è corretto quello che hai detto Mathematica mi svolge la serie e mi da questo immenso polinomio
$((4 + x^2) (-320 x + 4464 x^2 - 7500 x^3 + 6349 x^4 - 3475 x^5 + 1394 x^6 - 300 x^7 + 24 x^8))/(4 + 5 x)^5$(<= Questo non è un polinomio!!)
se metti $-4/5$ nel polinomio mi dice che impossibile perchè al denominatore ho $0^5$
con valori minori di $-4/5$ mi da $-oo$ e con valori maggiori di $-4/5$ mi dice che converge anche li!!!
quindi per quale motivo il software mi sputa quel polinomio, cioè mi dice che converge e diverge dappertutto, quando invece a $-4/5$ è impossibile????
io ho anche plottato la serie e con n gli ho fatto un manipulate a la funzione è sempre continua.....ho provato a verificare se a $-4/5$ ci fosse un flesso visto l'andatura della funzione ma facendo la derivata seconda e ponendola =0 non mi da il risultato ottenuto.....forse il programma mi prolungua per continuità nel punto a x=$-4/5$ ? il prof secondo me sa il motivo ma vuole che ci sforziamo a capire io le sto tentando tutte!!!! è una serie maledetta!!!!

Sì, forse ho capito (sottolineo forse), in pratica, la nostra serie coincide con quella funzione razionale fratta solo nell'insieme di convergenza(!) (quindi la serie e la funzione coincidono solo per $x> -4/5$), nel complementare dell'insieme di convergenza, la serie non converge, mentre la funzione fa quello che vuole [/quote]
a questo punto penso di si....prova vedere la immagine che ti ho messo se riesci ad aprirla è sul post sopra....

[salvozungri]

"brollino":
a questo punto penso di si....prova vedere la immagine che ti ho messo se riesci ad aprirla è sul post sopra....

Ho visto i grafici, ma non ci vedo nulla di così straordinario , la questione è questa:
Abbiamo la serie [tex]$\sum_{n=1}^\infty n^4 \left(\frac{x (x-5)}{x^2+4}\right)^n[/tex].

Nell'insieme di convergenza [tex]$D:= \left\{x\in\mathbb{R}| x> -\frac{4}{5}\right\}$[/tex] la serie è proprio la funzione [tex]$f(x)=\frac{(4+x^2)(-320x+446x^2-7500x^3+6349x^4-3475x^5+1394x^6-300x^7+24x^8)}{(4+5x)^5}$[/tex].

Quindi:

[tex]$\sum_{n=1}^\infty n^4 \left(\frac{x (x-5)}{x^2+4}\right)^n=\frac{(4+x^2)(-320x+446x^2-7500x^3+6349x^4-3475x^5+1394x^6-300x^7+24x^8)}{(4+5x)^5}[/tex], solo per i numeri che vivono in [tex]D[/tex].


Per tutti i valori che non vivono in [tex]D[/tex] la serie non converge, mentre la funzione [tex]f[/tex] fa quello che deve fare, non ci interessa. In realtà, possiamo dire che la funzione [tex]f[/tex] è una estensione della funzione [tex]$\sum_{n=1}^\infty n^4 \left(\frac{x (x-5)}{x^2+4}\right)^n[/tex], cioè [tex]$f_{|_D}=\sum_{n=1}^\infty n^4 \left(\frac{x (x-5)}{x^2+4}\right)^n[/tex].

Ora $x=-\frac{4}{5}$ non vive in [tex]D[/tex], e infatti, la funzione non è definita mentre la serie diverge, ma non ci vedo nulla di male in questo