Serie armonica con modulo sin (n).. Suggerimento.
Ciao a tutti vi chiedo un suggerimento per continuare con questo esercizio
Stabilire il carattere della seguente serie numerica $\sum (1)/(n^{1+|\sin (n)|})$
ho pensato di svolgerlo così, siccome è una serie armonica
questa converge $\Leftrightarrow 1+|\sin (n)|>1\rightarrow |\sin (n)|>0$
ecco è quel modulo di del seno di n che mi blocca. Qualche suggerimento per continuare?
Grazie in anticipo.
Stabilire il carattere della seguente serie numerica $\sum (1)/(n^{1+|\sin (n)|})$
ho pensato di svolgerlo così, siccome è una serie armonica
questa converge $\Leftrightarrow 1+|\sin (n)|>1\rightarrow |\sin (n)|>0$
ecco è quel modulo di del seno di n che mi blocca. Qualche suggerimento per continuare?
Grazie in anticipo.
Risposte
Tieni presente che $|f(x)|>0 <=> f(x)!=0$
"Gi8":
Tieni presente che $|f(x)|>0 <=> f(x)!=0$
ma quelle sono le condizioni di esistenza giusto? oppure devo solamente studiare come dici tu quando $\sin(n)!=0$?
La seconda che hai detto. Le condizioni di esistenza non c'entrano nulla
Beh, \(|\sin n|=0\) solo se \(\sin n=0\); ma ciò è impossibile, perché il seno si annulla unicamente in corrispondenza dei multipli interi di \(\pi\) i quali sono tutti numeri trascendenti (quindi, a fortiori, non naturali).
Inoltre, la serie converge... Però mi sa che dimostrarlo è una rottura di scatole.
Inoltre, la serie converge... Però mi sa che dimostrarlo è una rottura di scatole.
Quindi le soluzioni sono queste?
$|\sin(n)|>0 \Leftrightarrow \sin(n)!=0 \Leftrightarrow 2k\pi
se ho sbagliato ditelo pure..
$|\sin(n)|>0 \Leftrightarrow \sin(n)!=0 \Leftrightarrow 2k\pi
se ho sbagliato ditelo pure..
Hai sbagliato.
Partiamo da qualcosa di più familiare: mi risolvi $sin(x)=0$?
Partiamo da qualcosa di più familiare: mi risolvi $sin(x)=0$?
"Gi8":
Hai sbagliato.
Partiamo da qualcosa di più familiare: mi risolvi $sin(x)=0$?
questa è $x=0$
cioè è tutto l'asse delle X in questo caso..ossia la sua soluzione è $x=\pi k, k\in\mathbb{Z}$
Lascia stare l'asse delle $x$.
L'equazione trigonometrica $sin(x)=0$ ha infinite soluzioni, che sono $0,pi, 2pi, 3pi, ... , -pi, -2pi, -3pi,....$
Tali soluzioni si possono compattare in un'unica formula: $x= k*pi$ con $k in ZZ$.
Quindi \[\bigl[\sin(n)\neq0 \bigr] \Leftrightarrow\bigl[ n \neq k \pi \text{ con } k \in \mathbb{Z} \bigr]\]
L'equazione trigonometrica $sin(x)=0$ ha infinite soluzioni, che sono $0,pi, 2pi, 3pi, ... , -pi, -2pi, -3pi,....$
Tali soluzioni si possono compattare in un'unica formula: $x= k*pi$ con $k in ZZ$.
Quindi \[\bigl[\sin(n)\neq0 \bigr] \Leftrightarrow\bigl[ n \neq k \pi \text{ con } k \in \mathbb{Z} \bigr]\]
ah ok, perfetto capito!..
Per cui l'esercizio si conclude dicendo che la serie converge quando $n!= k\pi, k\in\mathbb{Z}$
esatto?..
Grazie comunque a tutti e 2
Per cui l'esercizio si conclude dicendo che la serie converge quando $n!= k\pi, k\in\mathbb{Z}$
esatto?..
Grazie comunque a tutti e 2
mi sa che non hai capito molto quello che ha scritto gugo
Gi8, cerchiamo di essere propositivi!
Allora 21zuclo, tu stai facendo un errore. Se ti chiedono se una sommatoria come quella (senza parametri!) converge la risposta può essere una sola: o SI o NO.
La tua risposta invece è del tipo: converge solo se $n$ assume certi valori. Ma questa risposta non ha senso! Perchè? Che cosa è $n$?
Nel tuo post iniziale scrivi delle cose che mostrano molto questa confusione!
Inoltre quella serie non è una serie armonica come tu affermi. Perchè?
Allora 21zuclo, tu stai facendo un errore. Se ti chiedono se una sommatoria come quella (senza parametri!) converge la risposta può essere una sola: o SI o NO.
La tua risposta invece è del tipo: converge solo se $n$ assume certi valori. Ma questa risposta non ha senso! Perchè? Che cosa è $n$?
Nel tuo post iniziale scrivi delle cose che mostrano molto questa confusione!
Inoltre quella serie non è una serie armonica come tu affermi. Perchè?
Come ha già detto gugo, l'esercizio non è banale.
C'è un vecchio post che riguarda esattamente lo studio di quella serie.
C'è un vecchio post che riguarda esattamente lo studio di quella serie.
"Thomas":
Inoltre quella serie non è una serie armonica come tu affermi. Perchè?
come non è la serie armonica? la serie armonica è quella del tipo $\sum (1)/(n^\alpha)$, dove converge per $\alpha>1$
"Thomas":
Gi8, cerchiamo di essere propositivi!
Allora 21zuclo, tu stai facendo un errore. Se ti chiedono se una sommatoria come quella (senza parametri!) converge la risposta può essere una sola: o SI o NO.
La tua risposta invece è del tipo: converge solo se $n$ assume certi valori. Ma questa risposta non ha senso! Perchè? Che cosa è $n$?
Nel tuo post iniziale scrivi delle cose che mostrano molto questa confusione!
E invece qua non ti seguo,cioè mi sono perso, ho trovato per quali valori converge, che sono per $n!=k\pi, k\in\mathbb{Z}$
Cosa vi è di sbagliato?
p.s.: non so se è stato già chiesto questo esercizio
"21zuclo":
come non è la serie armonica? la serie armonica è quella del tipo $\sum (1)/(n^\alpha)$, dove converge per $\alpha>1$
Il fatto è che qui \(\alpha\) dipende da \(n\).
"maxsiviero":
[quote="21zuclo"]
come non è la serie armonica? la serie armonica è quella del tipo $\sum (1)/(n^\alpha)$, dove converge per $\alpha>1$
Il fatto è che qui \(\alpha\) dipende da \(n\).[/quote]
quindi cosa si dovrebbe fare per concludere l'esercizio dopo aver trovato questi valori $n != k\pi, k\in\mathbb{Z}$?
Tu cosa suggerisci?..per me l'esercizio pare finito, ma vedo che non è così..dammi qualche suggerimento che provo..
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