Serie al variare di alfa..

[monny1992]

salve.. vorrei sapere come si risolve questo esercizio:
determinare al variare di alpha quando converge la serie

\[ \sum_{n=2}^\infty(1/n^\alpha)\frac{log(1+n^{-\alpha/2})arctan(n))}{(sin(1/n)cos(1/n)}\]

grazie mille..
ps. potete scrivermi i passaggi per favore..

[ciampax]

Mi sa che devi rileggerti il regolamento.

[monny1992]

almeno potete dirmi come impostarla? percje la soluzione del libro è diversa dalla mia..

[ciampax]

Per prima cosa, vedi come si comporta il termine generale della serie calcolandone il limite per $n\to+\infty$: ci saranno dei valori di $\alpha$ per cui tale limite è diverso da zero, e che quindi potrai sicuramente escludere, e quindi ti resterà da capire (usando qualche criterio) cosa accade per i valori di $\alpha$ per cui tale limite è nullo (e quindi, i casi in cui la serie potrebbe convergere).

[monny1992]

mi puoi impostare i primi passaggi?? perche non ho capito...

[ciampax]

Chiama $a_n=1/n^\alpha\cdot{\log(1+n^{-\alpha/2})\arctan(n)}/{\sin 1/n\cdot\cos 1/n}$ e calcola il limite $\lim_{n\to+\infty} a_n$.

[franc3sc01]

monny ti calcoli il limite del termine generale per n che tende a +∞. Poichè hai un parametro, ti verrà sicuramente un valore che dipende da alpha.. quindi devi discutere il limite del termine generale(per intenderci, l'argomento della sommatoria). Una serie convergente ha sempre il termine generale infinitesimo giusto? Quindi discuti il limiti e controlli i casi in cui ti viene uguale a 0, e i casi in cui ti viene diverso da zero.

1) Se il limite è uguale a 0, allora la serie POTREBBE convergere.. è una condizione necessaria ma non sufficiente.. quindi utilizzi qualche criterio come ti ha consigliato ciampax.

2) Se il limite è diverso da 0, allora la serie non può convergere.

[gugo82]

"monny1992":almeno potete dirmi come impostarla? percje la soluzione del libro è diversa dalla mia..

La tua soluzione è coperta da segreto di stato?

Postala (cfr. questo avviso, secondo punto).