Serie a termini alterni con il criterio di Leibniz
Salve!
Come faccio a capire con il criterio di Leibniz che una serie a termini alterni è divergente?
Per esempio:
$sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n * (n) }{n+1}$
usando il criterio di leibniz ottengo:
$\lim_{n \to \infty} frac{n}{n+1} = 1$ dunque non è infinitesimo
quindi??
Come faccio a capire con il criterio di Leibniz che una serie a termini alterni è divergente?
Per esempio:
$sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n * (n) }{n+1}$
usando il criterio di leibniz ottengo:
$\lim_{n \to \infty} frac{n}{n+1} = 1$ dunque non è infinitesimo
quindi??
Risposte
Quindi non è verificata la condizione necessaria alla convergenza? 
"Gugo82":
Quindi non è verificata la condizione necessaria alla convergenza?
Quindi se non rispetta il criterio di Leibniz è automaticamente divergente? E in quali casi è indeterminata?
Per esempio per i criteri della radice e del rapporto se il valore del limite è <1 converge mentre se è >1 diverge e se il valore del limite è =1 non si può dire nulla.
Per il criterio della convergenza assoluta e di Leibniz c'è qualcosa di simile?
Mica ho detto che la serie diverge?
Se la serie convergesse dovresti avere [tex]$\lim_n a_n = 0$[/tex]; ma in questo caso il [tex]$\lim_n a_n =\lim_n (-1)^n \frac{n}{n+1}$[/tex] non esiste neppure...
Non è che perchè una serie è a segni alterni ci dobbiamo dimenticare di controllare la condizione necessaria.
Se la serie convergesse dovresti avere [tex]$\lim_n a_n = 0$[/tex]; ma in questo caso il [tex]$\lim_n a_n =\lim_n (-1)^n \frac{n}{n+1}$[/tex] non esiste neppure...
Non è che perchè una serie è a segni alterni ci dobbiamo dimenticare di controllare la condizione necessaria.
Ok ma il libro mi dice che diverge e non capisco il motivo. Saresti così gentile da farmi capire il perchè? 
Controlla, può essere che il tuo libro intenda "serie divergente" come "serie non convergente". Ad esempio il Rudin Principi di analisi matematica segue questa notazione.
"dissonance":
Controlla, può essere che il tuo libro intenda "serie divergente" come "serie non convergente". Ad esempio il Rudin Principi di analisi matematica segue questa notazione.
Di solito i libri anglosassoni usano divergent series per denotare una serie che non converge.
Confermo, ed aggiungo: che buzzurri!
"Gugo82":
[quote="dissonance"]Controlla, può essere che il tuo libro intenda "serie divergente" come "serie non convergente". Ad esempio il Rudin Principi di analisi matematica segue questa notazione.
Di solito i libri anglosassoni usano divergent series per denotare una serie che non converge.[/quote]
Già...intende serie che non converge...ma quindi una serie a segni alterni non diverge mai?
"qwerty90":
[quote="Gugo82"][quote="dissonance"]Controlla, può essere che il tuo libro intenda "serie divergente" come "serie non convergente". Ad esempio il Rudin Principi di analisi matematica segue questa notazione.
Di solito i libri anglosassoni usano divergent series per denotare una serie che non converge.[/quote]
Già...intende serie che non converge...ma quindi una serie a segni alterni non diverge mai?[/quote]
Vediamo un po'...
Se:
[tex]a_n:=\begin{cases} n! &\text{, se $n$ è pari} \\
\frac{1}{e^n} & \text{, se $n$ è dispari} \end{cases}[/tex]
secondo te cosa succede a [tex]$\sum_n (-1)^na_n$[/tex]?
"Gugo82":
Vediamo un po'...
Se:
[tex]a_n:=\begin{cases} n! &\text{, se $n$ è pari} \\
\frac{1}{n} & \text{, se $n$ è dispari} \end{cases}[/tex]
secondo te cosa succese a [tex]$\sum_n (-1)^na_n$[/tex]?
mmm..... è indeterminato o sbaglio? Non mi lapidate
Ho corretto il testo... Riguarda.
"Gugo82":
Vediamo un po'...
Se:
[tex]a_n:=\begin{cases} n! &\text{, se $n$ è pari} \\
\frac{1}{e^n} & \text{, se $n$ è dispari} \end{cases}[/tex]
secondo te cosa succese a [tex]$\sum_n (-1)^na_n$[/tex]?
$\lim_{n \to \infty} n! = \infty $ no?
$\lim_{n \to \infty} frac {1}{epsilon^n} =frac{1}{\infty} = 0 $
quindi ? è indeterminato o no?
Il limite sì, non esiste... E la serie cosa fa?
"Gugo82":
Il limite sì, non esiste... E la serie cosa fa?
la serie non lo posso sapere se il limite è indeterminato...
E allora fai un po' di conti, no?
Mica gli esercizi sono sempre tutti semplici... A volte bisogna un po' andare a verificare con mano che succede!:-D
Mica gli esercizi sono sempre tutti semplici... A volte bisogna un po' andare a verificare con mano che succede!:-D
"Gugo82":
E allora fai un po' di conti, no?
Mica gli esercizi sono sempre tutti semplici... A volte bisogna un po' andare a verificare con mano che succede!:-D
Morale della favola:
I conti li faccio lo stesso ma la cosa che voglio capire è... che ogni volta che mi trovo davanti a serie i cui limiti non sono infinitesimi che devo fare?
Ragionare, come sempre con la Matematica.
"Gugo82":
Ragionare, come sempre con la Matematica.
Domandare è lecito, rispondere è cortesia....
comunque grazie lo stesso
Che vuol dire che devi fare?
Sai che se [tex]$\lim_n a_n \neq 0$[/tex] oppure se [tex]$\lim_n a_n \text{ non esiste}$[/tex] allora [tex]$\sum_n a_n$[/tex] non può convergere; pertanto nei casi suddetti [tex]$\sum_n a_n$[/tex] o è indeterminata oppure è divergente: per stabilirlo devi ragionare (provando a fare un po' di conti), che in generale non c'è una ricetta.
Ad esempio, prova con la serie a segni alterni che ho postato prima.
Sai che se [tex]$\lim_n a_n \neq 0$[/tex] oppure se [tex]$\lim_n a_n \text{ non esiste}$[/tex] allora [tex]$\sum_n a_n$[/tex] non può convergere; pertanto nei casi suddetti [tex]$\sum_n a_n$[/tex] o è indeterminata oppure è divergente: per stabilirlo devi ragionare (provando a fare un po' di conti), che in generale non c'è una ricetta.
Ad esempio, prova con la serie a segni alterni che ho postato prima.
"Gugo82":
Che vuol dire che devi fare?
Sai che se [tex]$\lim_n a_n \neq 0$[/tex] oppure se [tex]$\lim_n a_n \text{ non esiste}$[/tex] allora [tex]$\sum_n a_n$[/tex] non può convergere; pertanto nei casi suddetti [tex]$\sum_n a_n$[/tex] o è indeterminata oppure è divergente: per stabilirlo devi ragionare (provando a fare un po' di conti), che in generale non c'è una ricetta.
Ad esempio, prova con la serie a segni alterni che ho postato prima.
ok grazie ciao
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