Serie a segno alterno e sviluppi.
Salve a tutti. Avrei una domanda. Nelle serie da quel che ho capito il crit. confronto asintotico e gli sviluppi asintotici possono essere utilizzati solo nelle serie a termini di segno costante. Ma allora se mi trovo da studiare una serie in cui ad esempio compare
$sum(-1)^n*n(1/n-log(1+1/n))$ Utilizzando la convergenza assoluta e sviluppando il logaritmo ottengo una serie armonica divergente e dunque non risolvo nulla. Studiando la convergenza semplice utilizzo il criterio di Leibniz e qui vi chiedo: nel verificare che il termine generale sia decrescente ed infinitesimo posso utilizzare gli sviluppi asintotici??? Ma così facendo non contraddico a quanto scritto ad inizio domanda e cioè che nelle serie segno alterno non posso usare gli sviluppi??? Grazie.
$sum(-1)^n*n(1/n-log(1+1/n))$ Utilizzando la convergenza assoluta e sviluppando il logaritmo ottengo una serie armonica divergente e dunque non risolvo nulla. Studiando la convergenza semplice utilizzo il criterio di Leibniz e qui vi chiedo: nel verificare che il termine generale sia decrescente ed infinitesimo posso utilizzare gli sviluppi asintotici??? Ma così facendo non contraddico a quanto scritto ad inizio domanda e cioè che nelle serie segno alterno non posso usare gli sviluppi??? Grazie.
Risposte
Nota che nel criterio di Leibnitz si richiede che il termine generale della serie escluso il fattore $ (-1)^n $ vada a 0, cioe' in pratica un limite. Puoi usare l'asintotico.
$ n(1/n-log(1+1/n))~1/(2n) $ per $ nrarr+oo $ per concludere che
$ n(1/n-log(1+1/n))~1/(2n)rarr0 $ per $ nrarr+oo $
e verificare cosi' una delle condizioni del criterio di L. Devi ancora verificare la decrescenza.
$ n(1/n-log(1+1/n))~1/(2n) $ per $ nrarr+oo $ per concludere che
$ n(1/n-log(1+1/n))~1/(2n)rarr0 $ per $ nrarr+oo $
e verificare cosi' una delle condizioni del criterio di L. Devi ancora verificare la decrescenza.
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