Serie a segno alterno

[Felice.]

salve a ragazzi ho un problema nel risolvere queste due serie.
$\sum_{n=1}^infty n^2!/n^n+2$ e questa con il criterio dellas radice la risolvo facilmente giusto?
mentre questa non so come trattarla: $\sum_{n=1}^infty sqrt(n) cos((pi n)/2)(1-cos(1/n)$ questa non ho la più pallida idea di cosa possa fare

[Mephlip]

"Felix123321":
$\sum_{n=1}^infty n^2!/n^n+2$ e questa con il criterio dellas radice la risolvo facilmente giusto?

Riscrivila meglio, c'è un punto esclamativo volante al numeratore e non si capisce bene dove sia: tra l'altro, quel $2$ è dentro o fuori la serie?
Se il $2$ è nella serie dovresti sapere cosa fare.
Comunque se c'è fattoriale non è che sia proprio immediato col criterio della radice, sai usare l'approssimazione di Stirling?

"Felix123321":mentre questa non so come trattarla: $\sum_{n=1}^infty sqrt(n) cos((pi n)/2)(1-cos(1/n)$ questa non ho la più pallida idea di cosa possa fare

Prova a usare l'assoluta convergenza e il teorema del confronto asintotico.

[Felice.]

"Felix123321":salve a ragazzi ho un problema nel risolvere queste due serie.
$\sum_{n=1}^infty (n^2!)/(n^n+2)$ e questa con il criterio dellas radice la risolvo facilmente giusto?
mentre questa non so come trattarla: $\sum_{n=1}^infty sqrt(n) cos((pi n)/2)(1-cos(1/n)$ questa non ho la più pallida idea di cosa possa fare

[Felice.]

"Mephlip":[quote="Felix123321"]
$\sum_{n=1}^infty n^2!/n^n+2$ e questa con il criterio dellas radice la risolvo facilmente giusto?

Riscrivila meglio, c'è un punto esclamativo volante al numeratore e non si capisce bene dove sia: tra l'altro, quel $2$ è dentro o fuori la serie?
Se il $2$ è nella serie dovresti sapere cosa fare.
Comunque se c'è fattoriale non è che sia proprio immediato col criterio della radice, sai usare l'approssimazione di Stirling?

"Felix123321":mentre questa non so come trattarla: $\sum_{n=1}^infty sqrt(n) cos((pi n)/2)(1-cos(1/n)$ questa non ho la più pallida idea di cosa possa fare

Prova a usare l'assoluta convergenza e il teorema del confronto asintotico.[/quote]
Ecco l'ho aggiustata non me ne ero accorto,inoltre non so usare l'approssimazione

[Mephlip]

Ora è più chiaro!
Diciamo che se non sai usare Stirling come tratteresti la radice $n$-esima di $(n^2)!$?
Perciò, se non sai come farlo, può essere conveniente prendere un'altra via.
C'è un modo per determinare se una serie sicuramente non converge, è uno dei primi che si fa. Ti viene in mente qualcosa?

[otta96]

"Mephlip":Diciamo che se non sai usare Stirling come tratteresti la radice $n$-esima di $(n^2)!$?
Perciò, se non sai come farlo, può essere conveniente prendere un'altra via.

In realtà l'approssimazione di Stirling è un risultato strettamente più forte di quello che serve qui, infatti si può studiare la radice $n$-esima del fattoriale senza sapere Stirling (il quadrato non conta più di tanto) .
Per farlo bisogna conoscere il teorema sui limiti della media geometrica di successioni (che tra le altre cose dice anche che il criterio della radice é più efficace di quello del rapporto), se l'OP lo conosce si può procedere in questo modo.

[Felice.]

Purtroppo no conosco il teorema sui limiti della media geometrica ,ma credo sia una conoscenza che dovrei sapere dal programma di analisi 1

[otta96]

@Felix123321 se hai fatto un buon corso di analisi 1 quel teorema fa parte delle conoscenze che dovresti avere grazie ad analisi 1.
@arnett mi sono appena accorto che avevo letto male il testo, pensavo fosse il quadrato del fattoriale invece del fattoriale del quadrato. Beh allora si può fare in modo più facile. Si potrebbe fare anche col teorema che dicevo io ma diventa inutilmente complicato.

[Felice.]

"otta96":@Felix123321 se hai fatto un buon corso di analisi 1 quel teorema fa parte delle conoscenze che dovresti avere grazie ad analisi 1.
@arnett mi sono appena accorto che avevo letto male il testo, pensavo fosse il quadrato del fattoriale invece del fattoriale del quadrato. Beh allora si può fare in modo più facile. Si potrebbe fare anche col teorema che dicevo io ma diventa inutilmente complicato.

@otta96 oddio, non fa parte delle mie conoscenze oppure lo confondo con qualcos'altro sapresti darmi una dritta, magari qualche appunto su internet io non ho trovato nulla.
@arnett il criterio di convergenza è soddisfatto quindi la serie potrebbe convergere(per gerarchia degli infiniti)

[Felice.]

In realtà ho sbagliato ho rivisto i teoremi sulla media, e successivamente quelli di cesaro. ed il $lim_{nto infty} ((n^2)!)/(n^n+2)$=$lim_{nto infty} ((n^2+1)n^2!)/((n+1)^(n+1))*(n^n+2)/((n^2)!)$ che è +$infty$

[Felice.]

Perfetto, mentre la seconda come la analizzo @arnett

[Felice.]

@arnett scusa, ma non ho mai fatto una serie da calcolare con la media geometrica, e stirling non fa parte del mio programma, quindi non potrei usarlo. Potresti farm un esempio di applicazione di tale media?
@Mephlip con cosa maggioro questa serie,in realtà ho un problema nelle equivalenze asintotiche che non so come togliermi

[Mephlip]

Puoi provare così: speriamo in un'assoluta convergenza, perciò considera la serie dei valori assoluti
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left|\sqrt{n} \cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)\left[1-\cos \left(\frac{1}{n}\right) \right] \right|$$
Ora prova a maggiorare il coseno e a lavorare con stime asintotiche; che problemi hai su di esse?

[Felice.]

@Mephlip credo di essere arrivato alla soluzione:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \left|\sqrt{n} \cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)\left[1-\cos \left(\frac{1}{n}\right) \right] \right|$$
per n->$infty$ l'argomento del coseno è infinitesimo quindi posso usare le equivalenze asintotiche e $1-cos(1/n)$~$(-1/n)^2$
la serie quindi diventa $sum_{n=1}^{infty} sqrt(n)cos((pi n)/2)/(4n^2))$allora applico il criterio del rapporto e sottrago $sqrt(n+1)$ e il denominatore e mi rimane$cos((pi n)/2)/(4n+1)$ che converge perché qualsiasi sia il valore di n il coseno in valore assoluto è 0 ! giusto o sbaglio qualcosa?

[Mephlip]

No, già per $n=2$ il coseno vale $|\cos \pi|=|-1|=1$, quello che dici tu vale per gli $n$ dispari.
Ti stai però avvicinando, la stima asintotica è giusta tranne per il segno; liberati di quel coseno dai, è facile!

[gugo82]

Scusate se mi intrometto... Si può ragionare anche in altri modi per la prima serie.

Tra $(n+1)^2$ ed $n^2$ ci sono esattamente $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$ elementi; dunque:
\[
(n+1)^2! = (n+1)^2\cdot ((n+1)^2 - 1)\cdot ((n+1)^2 - 2)\cdots ((n+1)^2 -2n)\cdot n^2!
\]
dunque applicando il Criterio del Rapporto (cancellando quell'inutile $+2$...):
\[
\begin{split}
\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{(n+1)^2!}{(n+1)^{n+1}+2}\cdot \frac{n^{n}+2}{n^2!} \\
&= (n+1)^2\cdot ((n+1)^2 - 1)\cdot ((n+1)^2 - 2)\cdots ((n+1)^2 -2n)\cdot \frac{1}{n+1}\ \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}\\
&\to +\infty
\end{split}
\]
e la serie diverge (in modo clamorosamente veloce, aggiungerei).

Dato che tra $n^2$ ed $n$ ci sono $n^2-n >= n+1$ termini i quali sono tutti $>= n+1$, si ha:
\[
\frac{n^2!}{n^n +2}\geq \frac{n^2!}{(n+1)^{n+1}} = \underbrace{\frac{n^2}{n+1}\ \frac{(n^2-1)}{n+1}\cdots \frac{n^2-n}{n+1}}_{\geq 1}\ \underbrace{(n^2-n-1)!}_{\geq n!} \geq n!
\]
sicché la serie non soddisfa la condizione necessaria.

[Felice.]

@Mephlip non ho la più pallida idea di come liberarmi di quel coseno

[gugo82]

O distingui i casi oppure usi un criterio di convergenza assoluta.

[Mephlip]

"Felix123321":@Mephlip non ho la più pallida idea di come liberarmi di quel coseno

Di cosa è sicuramente più piccolo la quantità $|\cos \left(\frac{\pi n}{2} \right)|$?

[Felice.]

Di 2? @Mephlip

[Mephlip]

Di $1$, la funzione coseno è compresa tra $-1$ e $1$, perciò il suo valore assoluto è compreso tra $0$ e $1$.
Certamente è anche vero che, a maggior ragione, è più piccola anche di $2$; così però sembra un po' tirato a caso comunque ora che sai che è minore di $1$, come concludi?