Serie a segni alterni con parametro
Ragazzi, chiedo il vostro aiuto per questa serie numerica:
$sum_(n=1)^∞(-1)^n(log(1+e^(n^(1/3))))/n^(alpha)$ (con $alpha>0$)
Comincio con la convergenza assoluta: usando il criterio del confronto asintotico trovo che la serie converge per $alpha>4/3$
Per $alphain(0, 4/3]$ però non so dove andare a parare. La serie può ancora convergere perché il termine generale va a zero per tali $alpha$...
In realtà per ciascuno di questi valori la serie è a segni alterni con $(-1)^n$; può essere una buona idea studiare la derivata della successione e vedere per quali $alpha$ risulta definitivamente decrescente? Perché in teoria potrebbe funzionare ma nella pratica i conti sono troppo difficili, o almeno così mi sembra.
Voi cosa ne dite? Grazie in anticipo per il vostro aiuto...
$sum_(n=1)^∞(-1)^n(log(1+e^(n^(1/3))))/n^(alpha)$ (con $alpha>0$)
Comincio con la convergenza assoluta: usando il criterio del confronto asintotico trovo che la serie converge per $alpha>4/3$
Per $alphain(0, 4/3]$ però non so dove andare a parare. La serie può ancora convergere perché il termine generale va a zero per tali $alpha$...
In realtà per ciascuno di questi valori la serie è a segni alterni con $(-1)^n$; può essere una buona idea studiare la derivata della successione e vedere per quali $alpha$ risulta definitivamente decrescente? Perché in teoria potrebbe funzionare ma nella pratica i conti sono troppo difficili, o almeno così mi sembra.
Voi cosa ne dite? Grazie in anticipo per il vostro aiuto...
Risposte
Per $\alpha \in (0, 1/3]$ non mi sembra che il termine generale vada a zero.
Invece $ (-1)^n(log(1+e^(n^(1/3))))/n^(alpha) = (-1)^n (\frac{1}{n^(\alpha-1/3)} + \frac{e^(-n^(1/3))+ o(e^(-n^(1/3)))}{n^\alpha} )$ (l'o si intende per $n \to +\infty$)
Invece $ (-1)^n(log(1+e^(n^(1/3))))/n^(alpha) = (-1)^n (\frac{1}{n^(\alpha-1/3)} + \frac{e^(-n^(1/3))+ o(e^(-n^(1/3)))}{n^\alpha} )$ (l'o si intende per $n \to +\infty$)
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