Serie
Visto che sia il criterio del rapporto che quello della radice danno entrambi 1, come posso fare per stabilire il carattere della seguente serie
$\sum_n 1-\cos(1/n)$ senza usare il calcolo differenziale?
$\sum_n 1-\cos(1/n)$ senza usare il calcolo differenziale?
Risposte
Limiti notevoli e confronto asintotico?
serve ben poco anche questo. Potrei usare
$\lim (1-cos(1/n))/(1/n) (1/n)$ = 0 ma ciò non basta per determinarne la convergenza...cioè è la condizione necessaria ma non sufficiente
$\lim (1-cos(1/n))/(1/n) (1/n)$ = 0 ma ciò non basta per determinarne la convergenza...cioè è la condizione necessaria ma non sufficiente
Guarda che ce n'è un altro di limite notevole col coseno, un altro che è ben più significativo di [tex]\lim_{x\to 0}\tfrac{1-\cos x}{x}=0[/tex]. 
Quale?
Ma come "quale?"... [tex]$\lim_{x\to 0} \tfrac{1-\cos x}{x^2} =\tfrac{1}{2}$[/tex], no?
Eh ma concludo cmq poco...
$ (1-\cos(1/n))/(1/n^2) 1/(n^2) = 1/2\cdot 0 = 0$
$ (1-\cos(1/n))/(1/n^2) 1/(n^2) = 1/2\cdot 0 = 0$
Scusa?!?!
Conosci la definizione di infinitesimi equivalenti?
Ed il teorema del confronto asintotico?
E sai come si usano i limiti notevoli?
Conosci la definizione di infinitesimi equivalenti?
Ed il teorema del confronto asintotico?
E sai come si usano i limiti notevoli?
Intendi questo?
Siano $\sum_n a_n$ e $\sum_n b_n$ due serie con $a_n<=b_n$. Allora si ha $\sum a_n$ diverge$ =>b_n$ diverge.
Sarebbe interessantissimo da applicare, dovrei trovare una serie più piccola di quella data che diverge...ci ho provato per molto tempo prima di postare qui:|
Siano $\sum_n a_n$ e $\sum_n b_n$ due serie con $a_n<=b_n$. Allora si ha $\sum a_n$ diverge$ =>b_n$ diverge.
Sarebbe interessantissimo da applicare, dovrei trovare una serie più piccola di quella data che diverge...ci ho provato per molto tempo prima di postare qui:|
Sì, ma in una forma diversa, ossia:
Siano [tex]\sum a_n[/tex] e [tex]\sum b_n[/tex] serie a termini positivi.
Se [tex]$\lim_n \tfrac{a_n}{b_n}$[/tex] esiste finito e non nullo, allora [tex]\sum a_n[/tex] converge se e solo se [tex]\sum b_n[/tex] converge.
Non c'è sul mio libro...roba da pazzi...quindi in pratica se faccio
$ \lim (1-cos(1/n))/(1/n^2) = 1/2$ che è un limite finito, ho che $\sum 1-cos (1/n) $deve convergere perchè$ \sum 1/n^2$ converge?
$ \lim (1-cos(1/n))/(1/n^2) = 1/2$ che è un limite finito, ho che $\sum 1-cos (1/n) $deve convergere perchè$ \sum 1/n^2$ converge?
Esatto.
Ed ovviamente questo criterio segue immediatamente da quello che hai enunciato tu e dalla definizione di limite: quindi non te la prendere col testo, ma abbozza una dimostrazione.
Ed ovviamente questo criterio segue immediatamente da quello che hai enunciato tu e dalla definizione di limite: quindi non te la prendere col testo, ma abbozza una dimostrazione.
Lo faccio con piacere, mi piace l'analisi...dunque vediamo
TEOREMA
$\lim a_n/b_n = l$ con l un numero reale finito $=>\sum a_n$ e $\sum b_n$ hanno lo stesso carattere.
DIMOSTRAZIONE
TEOREMA
$\lim a_n/b_n = l$ con l un numero reale finito $=>\sum a_n$ e $\sum b_n$ hanno lo stesso carattere.
DIMOSTRAZIONE
Per la definizione di limite si ha
$|a_n/b_n-l|<\epsilon$ cioè
$-\epsilon
Si ha inoltre $a_n b_n$ diverge...
mi arrendo!:(
$|a_n/b_n-l|<\epsilon$ cioè
$-\epsilon
Si ha inoltre $a_n
mi arrendo!:(
Ti sei dimenticato il ruolo di [tex]$l>0$[/tex]...
Il fatto che [tex]$l>0$[/tex] è importante: infatti se [tex]a_n=\frac{1}{n^2}[/tex] e [tex]b_n=\frac{1}{n}[/tex], il criterio sarebbe verificato con [tex]$l=0$[/tex], ma le serie [tex]\sum a_n[/tex] e [tex]\sum b_n[/tex] non avrebbero lo stesso carattere.
Il fatto che [tex]$l>0$[/tex] è importante: infatti se [tex]a_n=\frac{1}{n^2}[/tex] e [tex]b_n=\frac{1}{n}[/tex], il criterio sarebbe verificato con [tex]$l=0$[/tex], ma le serie [tex]\sum a_n[/tex] e [tex]\sum b_n[/tex] non avrebbero lo stesso carattere.
$\lim a_n/b_n = (\lim a_n)/(\lim b_n)=l=>\lim a_n=l \lim b_n$ Nel caso a_n converga deve aversi $0=l\cdot\lim b_n$
questo però non assicura ancora la convergenza di b_n
Ma no, dai... Avevi cominciato bene.
Prova a scegliere nella definizione di limite [tex]$\varepsilon=\tfrac{1}{2}\ l$[/tex].
Prova a scegliere nella definizione di limite [tex]$\varepsilon=\tfrac{1}{2}\ l$[/tex].
$|a_n/b_n - l|<1/2 l$
$1/2 l < a_n/b_n < 3/2 l$
$1/2 l < a_n/b_n < 3/2 l$
Quindi per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande risulta:
[tex]$\tfrac{1}{2} l\ b_n\leq a_n\leq \tfrac{3}{2} l\ b_n$[/tex]
e per il criterio richiamato sopra [tex]\sum a_n[/tex] e [tex]\sum b_n[/tex] hanno lo stesso carattere.
[tex]$\tfrac{1}{2} l\ b_n\leq a_n\leq \tfrac{3}{2} l\ b_n$[/tex]
e per il criterio richiamato sopra [tex]\sum a_n[/tex] e [tex]\sum b_n[/tex] hanno lo stesso carattere.
ma visto che nella definizione di limite epsilon è ARBITRARIO, cioè la condizione deve valore PER OGNI EPSILON...non si lede òa generalità se per epsilon scegliamo l/2? E' una stranezza che ritrovo in molte dimostrazioni sui limiti, non solo su questa
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