Serie
Visto che sia il criterio del rapporto che quello della radice danno entrambi 1, come posso fare per stabilire il carattere della seguente serie
$\sum_n 1-\cos(1/n)$ senza usare il calcolo differenziale?
$\sum_n 1-\cos(1/n)$ senza usare il calcolo differenziale?
Risposte
In molte dimostrazioni dei limiti capita che ci serve una certa v e scegliamo la epsilon di conseguenza, cioè il contrario...
In primis, che urli a fare? (Cfr. regolamento, 3.5)
Inoltre, visto che la [tex]$\varepsilon$[/tex] è arbitraria, nulla ti vieta di scegliere un [tex]$\varepsilon$[/tex] particolare per far funzionare la definizione di limite; è il quantificatore [tex]$\forall$[/tex] che fa la magia.
Inoltre, visto che la [tex]$\varepsilon$[/tex] è arbitraria, nulla ti vieta di scegliere un [tex]$\varepsilon$[/tex] particolare per far funzionare la definizione di limite; è il quantificatore [tex]$\forall$[/tex] che fa la magia.
nu nunuununu state tranquilli non stavo ad urlare...stavo solo sottolineando la parola o il concetto che mi crea l'apparente contraddizione...
chi mi garantisce che se non scelgo un altro epsilon non mi crolla tutto il castello?
chi mi garantisce che se non scelgo un altro epsilon non mi crolla tutto il castello?
Il quantificatore universale [tex]$\forall$[/tex] ti consente di scegliere [tex]$\varepsilon$[/tex] come ti fa più comodo; quindi in particolare puoi scegliere [tex]$\varepsilon= \tfrac{1}{2}l$[/tex], che fa al caso tuo.
Se vuoi fare un paragone, ricordati di quando si era piccoli e si facevano le squadre (in un partita di calcio, ad esempio) facendo scegliere i capitani: se eri il capitano, potevi scegliere chiunque e, se non eri fesso, cominciavi scegliendo quelli più forti che ti facevano più comodo.
Se vuoi fare un paragone, ricordati di quando si era piccoli e si facevano le squadre (in un partita di calcio, ad esempio) facendo scegliere i capitani: se eri il capitano, potevi scegliere chiunque e, se non eri fesso, cominciavi scegliendo quelli più forti che ti facevano più comodo.
Il problema è che epsilon dovrebbe essere arbitrario, ma 1/2 l non lo è ...devo dimostrare che quella relazione è valida per ogni epsilon...
1/2 l è arbitrario?
Ma ti costa tanto rileggere con attenzione e cercare di capire? 
Ad ogni modo...
L'ipotesi da cui si parte è che esite un [tex]$l>0$[/tex] il quale gode della seguente proprietà:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu_\varepsilon \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu_\varepsilon,\ |\tfrac{a_n}{b_n} -l|<\varepsilon$[/tex];
questa ipotesi è vera per ogni [tex]$\varepsilon$[/tex] positivo, quindi, se la voglio usare, sono libero di scegliere un valore per [tex]$\varepsilon$[/tex] così come mi fa più comodo: in particolare, scelgo che mi fa comodo [tex]$\varepsilon =\tfrac{1}{2} l$[/tex] perchè così posso esplicitare il valore assoluto come segue:
(*) \( \forall n> \nu_{\tfrac{1}{2} l} ,\ \tfrac{1}{2} l<\tfrac{a_n}{b_n}<\tfrac{3}{2} l\)
col termine a primo membro positivo (N.B.: avrei potuto scegliere anche [tex]$\varepsilon =\tfrac{1}{3} l$[/tex], oppure [tex]$\varepsilon =\tfrac{e}{\pi} l$[/tex] ovvero [tex]$\varepsilon = \tfrac{127 \pi^7}{e^{13}} l$[/tex]... Insomma basta scegliere un valore per [tex]$\varepsilon$[/tex] che sia minore di [tex]$l$[/tex] per avere a primo membro di (*) una quantità positiva); fatto ciò, trovo che per ogni [tex]$N>\nu_{\tfrac{1}{2} l}$[/tex] si ha:
\(\tfrac{1}{2} l\ b_n
e da ciò ottengo la tesi.
Non capisco perchè la gestione dei quantificatori risulti così complicata ad alcuni studenti... Insomma, non c'è nulla di strano (vedi il paragone coi giochi che si facevano da piccoli).
Ad ogni modo...
L'ipotesi da cui si parte è che esite un [tex]$l>0$[/tex] il quale gode della seguente proprietà:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists \nu_\varepsilon \in \mathbb{N}:\quad \forall n>\nu_\varepsilon,\ |\tfrac{a_n}{b_n} -l|<\varepsilon$[/tex];
questa ipotesi è vera per ogni [tex]$\varepsilon$[/tex] positivo, quindi, se la voglio usare, sono libero di scegliere un valore per [tex]$\varepsilon$[/tex] così come mi fa più comodo: in particolare, scelgo che mi fa comodo [tex]$\varepsilon =\tfrac{1}{2} l$[/tex] perchè così posso esplicitare il valore assoluto come segue:
(*) \( \forall n> \nu_{\tfrac{1}{2} l} ,\ \tfrac{1}{2} l<\tfrac{a_n}{b_n}<\tfrac{3}{2} l\)
col termine a primo membro positivo (N.B.: avrei potuto scegliere anche [tex]$\varepsilon =\tfrac{1}{3} l$[/tex], oppure [tex]$\varepsilon =\tfrac{e}{\pi} l$[/tex] ovvero [tex]$\varepsilon = \tfrac{127 \pi^7}{e^{13}} l$[/tex]... Insomma basta scegliere un valore per [tex]$\varepsilon$[/tex] che sia minore di [tex]$l$[/tex] per avere a primo membro di (*) una quantità positiva); fatto ciò, trovo che per ogni [tex]$N>\nu_{\tfrac{1}{2} l}$[/tex] si ha:
\(\tfrac{1}{2} l\ b_n
e da ciò ottengo la tesi.
Non capisco perchè la gestione dei quantificatori risulti così complicata ad alcuni studenti... Insomma, non c'è nulla di strano (vedi il paragone coi giochi che si facevano da piccoli).
Ma a voler essere proprio "pignoli" pensavo di fare così
$\epsilon>0$ e $|a_n/b_n-l|<\epsilon$
$l-\epsilon<\a_n/b_n
Corretto? (Il caso della divergenza è pressocchè simile)
$\epsilon>0$ e $|a_n/b_n-l|<\epsilon$
$l-\epsilon<\a_n/b_n
Corretto? (Il caso della divergenza è pressocchè simile)
Un attimo la tua logica potrebbe salvarsi se valesse la seguente implicazione $|a_n/b_n-l|<1/2 l <=> \forall 0<\epsilon<1/2 l$ si ha $ |a_n/b_n - l| <\epsilon$...è teoricamente fattibile?
Ma no... Quale logica da salvare!
Leggi con attenzione.
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