Serie

[mari35]

ciao! sapete dirmi come si studia la convergenza semplice e assoluta di questa serie?

(1^infinito){1/n^(1/2) - sin[1/n^(1/2)]} grazie

[fu^2]

banalmente con il confronto...

$sum_(n=1)^oo{1/n^(1/2) - sin(1/n^(1/2))}$ nota che sin è asintotico al suo argomento, quindi per n grandi questo affare cresce per un $epsilon$ piccolo a piacere...

dimostriamo con veloci (e spero giusti) passaggi algebrici che $1/n^(1/2) - sin(1/n^(1/2))<1/n^2->
$1/n+sin^2(1/n^(1/2))-2sin(1/n^(1/2))/n^(1/2)<1/n^4->
$sin^2(1/n^(1/2))-2sin(1/n^(1/2))/n^(1/2)<1/n^4-1/n

ora $sin^2(1/n^(1/2))<1
$2sin(1/n^(1/2))/n^(1/2)<2

quindi $sin^2(1/n^(1/2))-2sin(1/n^(1/2))/n^(1/2)<1-2=-1

quindi $-1<1/n^4-1/n=(1-n^3)/n^4->
$1>(n^3-1)/n^4->n^4-n^3+1>0$ che epr $n>1$ non ammette sicuramente soluzione.

$sum_(n=1)^oo1/n^2$ converge, quindi converge tutto.

[fu^2]

o volendo se ti piace far i limiti, essendo una successione monotona descrescente a termini positivi, puoi applicare il criterio di condensazione e su quello far il criterio del rapporto, che salvo errori di calcolo viene $1/sqrt2$ e quindi converge.

[leev]

mi sa che erano un po'troppo veloci, i due 'quindi' finali non li afferro troppo...
ma poi, dovrebbero essere tutte delle equivalenze?!?

bòh, o forse son annebbiato io,
good night

[luluemicia]

Ciao,
forse il modo più semplice è quello di notare che il termine generale è un infinitesimo di ordine 3/2 e pertanto la serie converge.