Serie

[Giova411]

Per quali valori positivi di $k$ la serie converge:

$sum_(n=1)^(oo) ((n!)^2)/((kn)!)$

Mi date dei consigli perfavore?
Devo usare il criterio del rapporto?
Tanks!

[fireball1]

Beh sì, in questi casi è la cosa migliore. Ma
bisogna ricordarsi che il criterio del rapporto
fornisce solo una condizione sufficiente.

[Giova411]

Grazie mille Reynolds!

Ci sto provando ma:

[size=150] $(((n+1)!)^2/((k(n+1))!) )/ ((n!)^2/((kn)!))$[/size]

E, sempre se non sbaglio a semplificare, mi diventa: $n+1$ quindi non converge per nessun $k$?

[Giova411]

No, mi sono reso conto di un errore!
$(k*n)! <> k! * n!$

Ora riprovo

[Giova411]

Niente, arrivo a:

$((n+1)^2(kn)!)/((k(n+1))!)$

Il mio cervellino si ferma qui, mi arrendo.

[Giova411]

"Giova411":Per quali valori positivi di $k$ la serie converge:

$sum_(n=1)^(oo) ((n!)^2)/((kn)!)$

Quella di sopra non son capace...... (Son disperato!)


Poi tra i tanti esercizi che sto facendo non mi trovo col libro riguardo questi due:

$sum_(n=1)^(oo) (3n-1)/(2n+1)$ A me viene che non converge mentre il libro dice di si.

----

$sum_(n=1)^(oo) ((-1)^(n-1))/(sqrt(n))$ A me viene che converge assolutamente mentre il libro dice di no.

[Pulcepelosa]

$sum_(n=1)^(oo) (3n-1)/(2n+1)=sum_(n=1)^(oo) (3-1/n)/(2+1/n)$ da un certo n in poi, somma di infiniti 3/2 quindi divergente

----

$sum_(n=1)^(oo) ((-1)^(n-1))/(sqrt(n))$ è una serie di segno alterno che va, in modulo, come $1/sqrt(n)$ che è sempre maggiore di $1/n$, la quale diverge a + infinito, Quindi diverge anch'essa. (per lo sbirro)
Converge semplicemente ma non assolutamente, ma non sono sicurissimo.

[Pulcepelosa]

$((n+1)!)^2/((k(n+1))!) ((kn)!)/(n!)^2=((n+1)^2(n!)^2)/((k(n+1))!) ((kn)!)/(n!)^2$ questo son sicuro poi,
si tratta di sviluppare almeno il primo termine del fattoriale, che non mi ricordo come si fa:
$(k(n+1))!$$=(k(n+1))*kn!$ Ma sono piu' convinto che sia sbagliato che giusto perchè quel fattoriale a sinistra comprende tutto cio' che sta dentro parentesi

[Giova411]

Si anch'io non riesco a tirare fuori la soluzione..
Cmq grazie 1000 Pulcepelosa, speriamo che qualcuno risolva tutti i dubbi...

[Cmax1]

Se $k=1$, $\frac{(n!)^2}{n!}=n!$, e quindi ... Se $k=2$, $\frac{(n!)^2}{(2n)!}= \frac{1}{n+1} * \frac{2}{n+2} ... \frac{n}{2n}$ e quindi ...

[Giova411]

"Cmax":Se $k=1$, $\frac{(n!)^2}{n!}=n!$, e quindi ... Se $k=2$, $\frac{(n!)^2}{(2n)!}= \frac{1}{n+1} * \frac{2}{n+2} ... \frac{n}{2n}$ e quindi ...

Ciao Cmax!
Non esiste il k cercato?

[Sk_Anonymous]

Il criterio del rapporto è la strada giusta… basta solo percorrerla…

Data la serie $sum_(n=1)^(oo) a_n$ , se da un certo $n$ in poi è $|a_(n+1)/a_n|
$a_(n+1)/a_n = ((n+1)!^2)/(n!^2)* (kn!)/[(k*(n+1))!]= (n+1)^2/((kn+k)*(kn+k-1)*...*(kn+1))$ (1)

Per $k=1$ è $lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n = lim_(n->oo) n+1 = oo$ e quindi la serie è divergente…

Per $k=2$ è $lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n = lim_(n->oo) (n+1)^2/((2n+2)*(2n+1)) = 1/4$ e quindi la serie è convergente…

Analogamente per $k>2$ la serie è convergente…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[MaMo2]

"lupo grigio":
....
Per $k=2$ è $lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n = lim_(n->oo) (n+1)^2/((2n+2)*(2n+1)) = 0$ e quindi la serie è convergente…
....
Analogamente per $k>2$ la serie è convergente…

Questo limite tende a $1/4$ per cui la serie è convergernte solo per k > 2.

[Giova411]

"lupo grigio":Il criterio del rapporto è la strada giusta… basta solo percorrerla…

Data la serie $sum_(n=1)^(oo) a_n$ , se da un certo $n$ in poi è $|a_(n+1)/a_n|
$a_(n+1)/a_n = ((n+1)!^2)/(n!^2)* (kn!)/[(k*(n+1))!]= (n+1)^2/((kn+k)*(kn+k-1)*...*(kn+1))$ (1)

Per $k=1$ è $lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n = lim_(n->oo) n+1 = oo$ e quindi la serie è divergente…

Per $k=2$ è $lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n = lim_(n->oo) (n+1)^2/((2n+2)*(2n+1)) = 0$ e quindi la serie è convergente…

Analogamente per $k>2$ la serie è convergente…

Grazie 1000 Lupo grigio!

Mi spieghi una cosetta che non capisco (scusa ma ho i miei limitoni!)...
Il passaggio dopo questo:
$((n+1)^2(kn)!)/((k(n+1))!)$
Cosa hai semplificato?
Ti ringrazio tanto.

[Giova411]

Raga grazie a tutti!

Mi fate vede (perfavore) come arrivate a quel limite? Come si levano quei fattoriali bischeri?!

[TomSawyer1]

$((kn)!)/((k(n+1))!)=((kn)!)/((kn+k)!)=1/((kn+1)...(kn+k))$.

[Cmax1]

Per rispondere alla domanda di Giova411, intendevo che $ \frac{1}{n+1}* \frac{2}{n+2} ... \frac{n}{2n} \le \frac{1}{2^n}$. Mi sembra più facile del criterio del rapporto.

[Giova411]

"Cmax":Per rispondere alla domanda di Giova411, intendevo che $ \frac{1}{n+1}* \frac{2}{n+2} ... \frac{n}{2n} \le \frac{1}{2^n}$. Mi sembra più facile del criterio del rapporto.

Grazie Cmax, ma ancora non ci arrivo. Hai usato il confronto questo si, ma non mi spiego come va usata in questa circostanza. Ehm, sono ancora una mommola con le serie...

"Crook":$((kn)!)/((k(n+1))!)=((kn)!)/((kn+k)!)=1/((kn+1)...(kn+k))$.

Finalmente!
Ora ho capito, non riuscivo ad eliminare quel $(kn)!$, o meglio, non mi spiegavo la sua scomparsa...

"MaMo":

Questo limite tende a $1/4$ per cui la serie è convergernte solo per k > 2.

Capito, per il criterio di non convergenza. Il lim é diverso da zero.


Grazie a tutti RAGA.
Bel lavoro di squadra!

[Sk_Anonymous]

"MaMo":[quote="lupo grigio"]
....
Per $k=2$ è $lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n = lim_(n->oo) (n+1)^2/((2n+2)*(2n+1)) = 0$ e quindi la serie è convergente…
....
Analogamente per $k>2$ la serie è convergente…

Questo limite tende a $1/4$ per cui la serie è convergernte solo per k > 2.[/quote]

Esatto... esatto cioè nel senso che il $lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n$ vale $1/4$ e non $0$... dal momento che per la convergenza deve essere $lim_(n->oo) |a_(n+1)/a_n|
cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teth, but never his nature

P.S. Grazie comunque per aver segnalato il mio errore, che ho provveduto a correggere...

[Giova411]

Ma mi sa che negli estremi bisogna valutare una nuova serie. Quindi il limite deve essere = 0 perché poi sussista la convergenza...
Quindi non converge per k=2.
Ma chiedo conferme agli esperti...

[Cmax1]

Per k=2 la serie è maggiorata in valore assoluto dalla serie geometrica $frac{1}{2^n}$. Quest'ultima è convergente, di conseguenza lo è anche la serie dell'esercizio.