Serie

[Giova411]

Per quali valori positivi di $k$ la serie converge:

$sum_(n=1)^(oo) ((n!)^2)/((kn)!)$

Mi date dei consigli perfavore?
Devo usare il criterio del rapporto?
Tanks!

[Giova411]

Mi sembra che Lupo Grigio abbia dato la soluzione giusta (che non ho dal testo..), cioé che $k>1$ quindi anche $k=2$ dovrebbe andare bene.

Ma non sono ancora sicuro.
Non si fa prima a porre (visto che sono cercati i $k$ positivi) :

$|(n+1)^2/((kn+k)*(kn+k-1)*...*(kn+1))| < 1$
E poi trovare $k$???

[Sk_Anonymous]

Il criterio del rapporto stabilisce che la serie $sum_(n=1)^oo a_n$ è convergente se da un certo $n$ in poi è $|a_(n+1)/a_n|
cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Giova411]

$|(n+1)^2/((kn+k)*(kn+k-1)*...*(kn+1))| < 1$

che poi diventa:
$-1<(n+1)^2/((kn+k)*(kn+k-1)*...*(kn+1)) < 1$

così?

[Sk_Anonymous]

Non basta dimostrare che da un certo $n$ in poi è $|a_(n+1)/a_n|<1$ per affermare che una serie è convergente. Per esempio nel caso della serie $sum_(n=1)^oo 1/n$ è...

$|a_(n+1)/a_n|=|n/(n+1)| <1$ (1)

... per tutte le $n$ ma la serie è divergente. Nel nostro caso si è dimostrato che per $k=2$ è...

$lim_(n->oo) a_(n+1)/a_n= 1/4$ (2)

... per cui esiste sicuramente un $1/4
$|a_(n+1)/a_n|
cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[Giova411]

Ok, chiaro.
Ma in questo esercizio c'era una sola possibilità?
E cioé provare k=1, k=2, ... ecc ecc

In questo caso con k=2 hai trovato subito la soluzione. Mi chiedo se bisogna procedere solo così.