Serie

[fabry1985mi]

Mi stavo domandando quale fosse il carattere della seguente serie:
$sum_{n=2}^{+infty}log(1+(-1)^n/n)$
Non ho idea di quale criterio utilizzare; se pongo:
$a_n:=log(1+(-1)^n/n)$
studiare il valore assoluto della serie non mi porta a nulla. Applicare il criterio di Leibniz non se ne parla perchè $a_n$ non è monotona decrescente, neppure definitivamente. Allora ho pensato di notare che:
$a_n~(-1)^n/n$
che è una serie convergente semplicemente, ma non assolutamente. Il problema è che il criterio del confronto asintotico dice che presa una successione $a_n>=0$ $foralln in mathbb{N}$, se $a_n~b_n$ e $sum_{n=1}^{+infty}b_n$ converge, allora anche $sum_{n=1}^{+infty}a_n$ converge, ma in questo caso $log(1+(-1)^n/n)$ non è una successione non negativa e quindi non si può applicare questo criterio. Qualcuno ha altre idee?

[Sk_Anonymous]

"fabry1985mi":
Guarda che io non sto parlando di convergenza assoluta, ma di quella semplice! Probabilmente è per questo che tu sbagli: applichi il criterio di Leibniz ad una serie a termini positivi.

Se ti fossi dato pena di capire, anziché intestardirti come fai, forse ti saresti accorto che la tua serie si può scrivere nella forma $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \alpha_n$, dove $\alpha_n = |\log(1 + \frac{(-1)^n}{n})|$, per $n = 1, 2, ...$, ed è perciò alternante. Del resto, $\{\alpha\}_{n \ge 1}$ è una successione di numeri reali non negativi monotona non crescente e infinitesima. Il resto è il solito minestrone alla Leibniz.

[fabry1985mi]

"Tipper":Ma se una serie converge assolutamente converge anche semplicemente, o sbaglio?

No, non sbagli però DavidHilbert dice che la sua $a_n=|log(1+(-1)^n/n)|$, che è per come l'ha definita, una successione a termini positivi, converge perchè è monotona non crescente. In altre parole dice che una serie associata a una successione a termini positivi, monotona e non crescente converge, ma se ciò fosse vero anche la serie armonica dovrebbe convergere.
Forse è lì che sbaglia.

[Sk_Anonymous]

"fabry1985mi":
No, non sbagli però DavidHilbert dice che la sua $a_n=|log(1+(-1)^n/n)|$, che è per come l'ha definita, una successione a termini positivi, converge perchè è monotona non crescente. In altre parole dice che una serie associata a una successione a termini positivi, monotona e non crescente converge, ma se ciò fosse vero anche la serie armonica dovrebbe convergere.
Forse è lì che sbaglia.

No, questo sei tu, casomai, a dirlo! Al contrario, io sostengo (e non a caso) che [1] $\sum_{n=1}^\infty \log(1 + \frac{(-1)^n}{n}) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \alpha_n$, dove $\{\alpha_n\}_{n \ge 1}$ è la successione numerica a valori reali non negativi, infinitesima e monotona non crescente che ho definito nel corso dei precedenti interventi sul topic. Ne viene che la serie proposta è convergente, poiché si puo applicarle - tramite la [1] - il criterio di Leibniz. Se può aiutarti a capire, sono anche disposto a scriverlo in latino.

[fabry1985mi]

"DavidHilbert":No, questo sei tu, casomai, a dirlo! Al contrario, io sostengo (e non a caso) che [1] $\sum_{n=1}^\infty \log(1 + \frac{(-1)^n}{n}) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \alpha_n$, dove $\{\alpha_n\}_{n \ge 1}$ è la successione numerica a valori reali non negativi, infinitesima e monotona non crescente che ho definito nel corso dei precedenti interventi sul topic. Ne viene che la serie proposta è convergente, poiché si puo applicarle - tramite la [1] - il criterio di Leibniz. Se può aiutarti a capire, sono anche disposto a scriverlo in latino.

"DavidHilbert":Se ti fossi dato pena di capire, anziché intestardirti come fai, forse ti saresti accorto che la tua serie si può scrivere nella forma $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \alpha_n$, dove $\alpha_n = |\log(1 + \frac{(-1)^n}{n})|$, per $n = 1, 2, ...$, ed è perciò alternante. Del resto, $\{\alpha\}_{n \ge 1}$ è una successione di numeri reali non negativi monotona non crescente e infinitesima. Il resto è il solito minestrone alla Leibniz.

Accidenti come sei sempre nervoso: comunque se ti fossi dato pena di spiegare scrivendo qualche passaggio in più ai tempi non sarei qui a risponderti adesso(io non riesco a sognarmi che per te possa valere quell'uguaglianza tra serie senza che tu lo scriva - controlla più in alto e ti renderai conto che da nessuna parte si fa riferimento al fatto che la serie da me proposta si possa riscrivere in un modo più conveniente come hai detto solo questo pomeriggio). Del resto non mi pare di aver visto quello che hai scritto oggi anche 15 giorni fa! Fortunatamente come hai notato sono riuscito a risolvere il mio problema anche senza il tuo aiuto che per quanto ti fossi sforzato era risultato troppo frammentario! Grazie comunque e buona continuazione a tutti! (Ho messo anch'io lo smile come fai tu! Ora non puoi dire che sono arrogante perchè sto sorridendo)

[Sk_Anonymous]

Amen.