Serie
Mi stavo domandando quale fosse il carattere della seguente serie:
$sum_{n=2}^{+infty}log(1+(-1)^n/n)$
Non ho idea di quale criterio utilizzare; se pongo:
$a_n:=log(1+(-1)^n/n)$
studiare il valore assoluto della serie non mi porta a nulla. Applicare il criterio di Leibniz non se ne parla perchè $a_n$ non è monotona decrescente, neppure definitivamente. Allora ho pensato di notare che:
$a_n~(-1)^n/n$
che è una serie convergente semplicemente, ma non assolutamente. Il problema è che il criterio del confronto asintotico dice che presa una successione $a_n>=0$ $foralln in mathbb{N}$, se $a_n~b_n$ e $sum_{n=1}^{+infty}b_n$ converge, allora anche $sum_{n=1}^{+infty}a_n$ converge, ma in questo caso $log(1+(-1)^n/n)$ non è una successione non negativa e quindi non si può applicare questo criterio. Qualcuno ha altre idee?
$sum_{n=2}^{+infty}log(1+(-1)^n/n)$
Non ho idea di quale criterio utilizzare; se pongo:
$a_n:=log(1+(-1)^n/n)$
studiare il valore assoluto della serie non mi porta a nulla. Applicare il criterio di Leibniz non se ne parla perchè $a_n$ non è monotona decrescente, neppure definitivamente. Allora ho pensato di notare che:
$a_n~(-1)^n/n$
che è una serie convergente semplicemente, ma non assolutamente. Il problema è che il criterio del confronto asintotico dice che presa una successione $a_n>=0$ $foralln in mathbb{N}$, se $a_n~b_n$ e $sum_{n=1}^{+infty}b_n$ converge, allora anche $sum_{n=1}^{+infty}a_n$ converge, ma in questo caso $log(1+(-1)^n/n)$ non è una successione non negativa e quindi non si può applicare questo criterio. Qualcuno ha altre idee?
Risposte
Il criterio di Leibniz non lo conosci? 
Si lo conosco, mi ero dimenticato di scriverlo. Comunque non si può applicare perchè la successione non è decrescente!!
"fabry1985mi":
Applicare il criterio di Leibniz non se ne parla perchè $a_n$ non è monotona decrescente, neppure definitivamente.
Banalmente, la serie è alternante. Per ogni $n \in NN^+$, sia $\alpha_n = |\log(1 + (-1)^n/n)|$ [QUI avevo scordato di digitare la stanga di destra del valore assoluto]. Quando $n$ è pari, $\alpha_{n+1} = -\log(1 - \frac{1}{n+1}) = \log(1 + \frac{1}{n}) = \alpha_n$. Quando $n$ è dispari, $\alpha_{n+1} = \log(1 + \frac{1}{n+1}) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k \cdot (n+1)^k} $ $< \frac{1}{n+1} < \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k \cdot n^k} = -\log(1 - \frac{1}{n}) = \alpha_n$, purché sia $n > 1$. Perciò $\{\alpha_n\}_{n \ge 1}$ è definitivamente non crescente. Essendo d'altro canto infinitesima, puoi dedurne... Proprio sicuro di conoscere il criterio di Leibniz e di saperlo applicare - soprattutto - come si conviene?
Certo che sei veramente arrogante! Se è banale per te non significa che lo sia anche per gli altri!
"fabry1985mi":
Certo che sei veramente arrogante! Se è banale per te non significa che lo sia anche per gli altri!
Sei un tantino off-topic: non siamo qui per discutere del fatto s'io sia o non sia arrogante. Il mio intendeva essere un suggerimento, niente di più. Quale fosse, mi pare evidente: sii più cauto, nel dire questo e quello. E poi un'altra annotazione: dal canto mio, mi sono limitato a una domanda. Dal canto tuo, viceversa, ti sei arrogato il diritto di affermare ciò che sarei e forse però non sono. A rigor di logica, perciò, chi dei due è il vero arrogante?
"DavidHilbert":
Il criterio di Leibniz non lo conosci?
"fabry1985mi":
Si lo conosco, mi ero dimenticato di scriverlo. Comunque non si può applicare perchè la successione non è decrescente!!
"DavidHilbert":
Proprio sicuro di conoscere il criterio di Leibniz e di saperlo applicare - soprattutto - come si conviene?
"DavidHilbert":
Proprio sicuro di conoscere il criterio di Leibniz e di saperlo applicare - soprattutto - come si conviene?
Vorrei far notare a DavidHilbert che il criterio di Leibniz dice:
sia $a_n$ una successione che verifica:
1: $lim_{n->+infty}a_n=0$ cioè infinitesima
2: $0<=a_{n+1}<=a_n$ cioè monotona non crescente
allora segue che:
$sum_{n=1}^{+infty}(-1)^na_n$ converge
Dunque non si può applicare a questo esempio.
Finalmente sono riuscito a capire qual è il carattere di
$sum_{n=2}^{+infty}a_n$ posto $a_n=log(1+(-1)^n/n)$
Questa serie converge, ma non per il criterio di Leibniz, come dice DavidHilbert; infatti:
$foralln>=2$ dispari abbiamo che $n=2k+1$ per un opportuno $k in mathbb{N}$, quindi segue che:
$a_{2k+1}=log(1+(-1)^{2k+1}/(2k+1))=log(1-1/(2k+1))=log((2k)/(2k+1))=log((2k+1)/(2k))^{-1}=-log(1+1/(2k))=-a_{2k}$
Dunque $forall n>=2$ dispari o equivalentemente $forall k>=1$ vale che:
$a_n=-a_{n-1}$ o equivalentemente $a_{2k+1}=-a_{2k}$
ed è dunque chiaro che $a_n$ non è monotona non crescente, neppure definitivamente e quindi il criterio di Leibniz non è applicabile. Infine calcoliamo la successione delle somme parziali n-esime, cioè:
$s_n=sum_{j=2}^na_j$
distinguendo il caso in cui $n$ sia pari oppure dispari.
Caso $n$ pari (cioè $n=2k$):
$s_{2k}=sum_{j=2}^{2k}a_j=a_2+a_3+a_4+a_5+\cdots +a_{2k}=a_2-a_2+a_4-a_4+\cdots +a_{2k}=a_{2k}=log(1+(-1)^{2k}/(2k))=log(1+1/(2k))$
dove la terza uguaglianza vale per quanto detto sopra.
Caso $n$ dispari (cioè $n=2k+1$):
$s_{2k+1}=sum_{j=2}^{2k+1}a_j=a_2+a_3+a_4+a_5+\cdots +a_{2k}+a_{2k+1}=a_2-a_2+a_4-a_4+\cdots +a_{2k}-a_{2k}=0$
In definitiva abbiamo che:
$s_n=log(1 + 1/n)$ se $n=2k$ oppure $s_n=0$ se $n=2k+1$
Ora la somma della serie è per definizione il limite della successione delle somme parziali n-esime, cioè:
$sum_{n=2}^{+infty}log(1+(-1)^n/n)=lim_{n->+infty}s_n=0$
Guarda che la tua serie va all'infinito come $\frac{(-1)^n}{n}$...
"fabry1985mi":
Certo che sei veramente arrogante! Se è banale per te non significa che lo sia anche per gli altri!
Mi permetto di intervenire. Che la serie sia a segni alterni penso sia del tutto evidente, più che banale. E, comunque, chi ha letto qualche libro di matematica, avrà anche notato come spesso gli autori scrivono "banalmente blah blah blah", quando una cosa non necessita spiegazioni. Te la prendi anche con loro?
"Tipper":
Guarda che la tua serie va all'infinito come $\frac{(-1)^n}{n}$...
Che cosa? Come fai a dire che diverge??
E chi ha mai detto che diverge???
Mi spiego meglio (perché ho usato un linguaggio improprio): l'argomento della serie va all'infinito come $\frac{(-1)^n}{n}$.
"Crook":
Che la serie sia a segni alterni penso sia del tutto evidente, più che banale.
Certo che è evidente, ma è anche evidente che non sia monotona, però il criterio per essere applicato deve soddisfare entrambe le ipotesi e non una soltanto.
"Crook":
E comunque chi ha letto qualche libro di matematica, avrà anche notato come spesso gli autori scrivono "banalmente blah blah blah", quando una cosa non necessita spiegazioni. Te la prendi anche con loro?
Non me la prendo con DavidHilbert: gli faccio solo notare che c'era una sua supposizione (circa la monotonia) errata.
$\frac{1}{n}$ non ti sembra monotona?
"Tipper":
Mi spiego meglio (perché ho usato un linguaggio improprio): l'argomento della serie va all'infinito come $\frac{(-1)^n}{n}$.
In pratica tu hai detto che:
$log(1 + (-1)^n/n)~(-1)^n/n$ per $n->+infty$ ed è vero,
però il criterio del confronto asintotico si può usare esclusivamente se la serie è a termini di segno costante e quindi non qui.
"DavidHilbert":
[quote="fabry1985mi"]Applicare il criterio di Leibniz non se ne parla perchè $a_n$ non è monotona decrescente, neppure definitivamente.
Banalmente, la serie è alternante. Per ogni $n \in NN^+$, sia $\alpha_n = |\log(1 + (-1)^n/n)|$. Quando $n$ è pari, $\alpha_{n+1} = -\log(1 - \frac{1}{n+1}) = \log(1 + \frac{1}{n}) = \alpha_n$. Quando $n$ è dispari, $\alpha_{n+1} = \log(1 + \frac{1}{n+1}) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k \cdot (n+1)^k} $ $< \frac{1}{n+1} < \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k \cdot n^k} = -\log(1 - \frac{1}{n}) = \alpha_n$, purché sia $n > 1$. Perciò $\{\alpha_n\}_{n \ge 1}$ è definitivamente non crescente. Essendo d'altro canto infinitesima [...][/quote]
@fabry1985mi: dimmi, di grazia, quale fra le ipotesi del criterio di Leibniz verrebbe mai a cadere, in questo caso?!
"fabry1985mi":
[quote="Tipper"]Mi spiego meglio (perché ho usato un linguaggio improprio): l'argomento della serie va all'infinito come $\frac{(-1)^n}{n}$.
In pratica tu hai detto che:
$log(1 + (-1)^n/n)~(-1)^n/n$ per $n->+infty$ ed è vero,
però il criterio del confronto asintotico si può usare esclusivamente se la serie è a termini di segno costante e quindi non qui.[/quote]
Se è così ho sbagliato, non me lo ricordavo.
"DavidHilbert":
@fabry198]5mi: dimmi, di grazia, quale fra le ipotesi del criterio di Leibniz verrebbe mai a cadere, in questo caso?!
Beh non ho nemmeno provato a cercare l'errore che hai commesso(tu sarai sicuramente più bravo di me a trovarlo) comunque deve esserci da qualche parte perchè la successione non è affatto monotona non crescente(prova a calcolarti empiracamente $a_1$, $a_2$, $a_3$ e qualche altro termine) e te ne renderai conto!
Deve averti confuso il fatto che mi sono perso per strada la stanga di destra del valore assoluto - adesso edito. Ti consiglio, quindi, di rileggere tutto ben benino.
"DavidHilbert":
Deve averti confuso il fatto che mi sono perso per strada la stanga di destra del valore assoluto - adesso edito. Ti consiglio, quindi, di rileggere tutto ben benino.
Guarda che io non sto parlando di convergenza assoluta, ma di quella semplice! Probabilmente è per questo che tu sbagli: applichi il criterio di Leibniz ad una serie a termini positivi.
Ma se una serie converge assolutamente converge anche semplicemente, o sbaglio?
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