Serie
Buonasera a tutti. Chi mi sa dare una mano su questa serie?
$ sum_(k=1)^(infty)(k^2x^4)/(k^4x^2+1) $
Devo stabilire per quali valori $x$ la serie è convergente e stabilire se la funizone somma è continua nell'insieme di convergenza.
Sono partito studiando il raggio di convergenza ma non riesco a capire se risulta $infty$ o $1$.
Usando il criterio del rapporto mi viene: $ lim_(x -> infty) (k+1)^2/((k+1)^4+1) (k^4+1)/(k^2)=1 $
Mentre usando il criterio della radice mi viene: $ lim_(x -> infty) root(k)((k^2) / (k^4+1)) =0 $
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie
$ sum_(k=1)^(infty)(k^2x^4)/(k^4x^2+1) $
Devo stabilire per quali valori $x$ la serie è convergente e stabilire se la funizone somma è continua nell'insieme di convergenza.
Sono partito studiando il raggio di convergenza ma non riesco a capire se risulta $infty$ o $1$.
Usando il criterio del rapporto mi viene: $ lim_(x -> infty) (k+1)^2/((k+1)^4+1) (k^4+1)/(k^2)=1 $
Mentre usando il criterio della radice mi viene: $ lim_(x -> infty) root(k)((k^2) / (k^4+1)) =0 $
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie
Risposte
Non mi pare una serie di potenze quella
"Vulplasir":
Non mi pare una serie di potenze quella
Ho cambiato il titolo, avevo sbagliato. Riesci a darmi una mano Vulplasir?
Appurato che non è una serie di potenze, tutta la questione del raggio di convergenza è inutile...per determinare l'insieme di convergenza basta usare il confronto...
"Vulplasir":
Appurato che non è una serie di potenze, tutta la questione del raggio di convergenza è inutile...per determinare l'insieme di convergenza basta usare il confronto...
E come devo procedere? Non riesco a capire se devo considerare solo $sum k^2/(k^4+1)$ o no.
L'esercizio chiede di stabilire per quali valori $x$ la serie è convergente e stabile se la funzione somma è continua tra $[-R,R]$
Non è una serie di potenze, quindi il raggio di convergenza R non c'entra niente.
La $x$ è una qualsiasi numero reale che può variare, in questo caso, in tutto $RR$.
Quella è una serie di funzioni, bisogna determinare per quali x converge.
Si nota subito che la serie è a termini positivi, quindi strettamente crescente per ogni $x!=0$, e inoltre $(k^2x^4)/(k^4x^2+1)<=(k^2x^4)/(k^4x^2)=x^2/k^2$...quindi...
Per quanto riguarda la continuità della funzione somma, non capisco cosa intendi per $[-R, R]$
La $x$ è una qualsiasi numero reale che può variare, in questo caso, in tutto $RR$.
Quella è una serie di funzioni, bisogna determinare per quali x converge.
Si nota subito che la serie è a termini positivi, quindi strettamente crescente per ogni $x!=0$, e inoltre $(k^2x^4)/(k^4x^2+1)<=(k^2x^4)/(k^4x^2)=x^2/k^2$...quindi...
Per quanto riguarda la continuità della funzione somma, non capisco cosa intendi per $[-R, R]$
quindi è una serie armonica generalizzata e quindi converge per ogni $x!=0$ direi.
Si giusto, e nel caso x=0 tutti i termini della serie sono nulli, quindi converge anche per x=0, in pratica converge in tutto $RR$.
Perfetto ti ringrazio molto come al solito.
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