Seria non negativa

[Taraste]

Mi scuso perchè non riesco a scrivere nei caratteri giusti questa serie

$\sum_{n=1}^\infty sin(1/(n^(3\alpha)))* n^(3/2 - 2\alpha)$

Come faccio a dire per quale $\alpha$ converge? Il libro mi dice che questa serie ha la stesso comportamento della stessa seria però senza il seno cioè a questa:

n^[3/2-2$\alpha$] / (n^3$\alpha$); ma per quale motivo?? cioè vorrei capire perchè posso tranquillamente togliere il seno e studiare la convergenza di quest'ultima!

Grazie a tutti!

[Seneca1]

"Taraste":Mi scuso perchè non riesco a scrivere nei caratteri giusti questa serie

Te l'ho corretta. Prova a vedere se così è giusta.

[Taraste]

Si si è proprio questa; grazie molte

[giuscri]

"Taraste":$\sum_{n=1}^\infty sin(1/(n^(3\alpha)))* n^(3/2 - 2\alpha)$

[/list:u:b2swr4h1]

Ricordati che $sin \epsilon_n \sim \epsilon_n$.


$\epsilon_n ={"successione convergente a 0"}$.


Chiaramente non sempre l'argomento del seno è un infinitesimo, ma a volte (leggi: per alcuni $\alpha \in RR$) succede.

Non ti dimenticare poi di studiare il caso in cui invece l'argomento del seno diverge ad infinito.

[Taraste]

Ok grazie. E se al posto del seno ci fosse stato il coseno?

[giuscri]

"Taraste":Ok grazie. E se al posto del seno ci fosse stato il coseno?

Con onestà, anche a me interesserebbe. Prova a postare il tuo ragionamento.

Non vorrei dire qualche cavolata, ma, esclusi i casi in cui $\alpha < 0$:

$cos(1/n^(3a)) * n^(3/2 - 2a) \sim (1 - 1/(2n^(6a)) + o(1/n^(6a))) * n^ (3/2 - 2a)$[/list:u:3w0x3sxw]


$\Rightarrow$ $\sim n^(3/2 - 2a) - 1/(2n^(4a - 3/2)) + o(1/n^(4a - 3/2))$[/list:u:3w0x3sxw]

A questo punto dovrei preoccuparmi di discutere gli esponenti. Cioè, credo:


$3/2 - 2a < -1$

$4a - 3/2 > 1$[/list:u:3w0x3sxw]

i.e. $a > 5/16$

Qualcuno smentisce?

EDIT: Perfetto! E' sbagliato: così dice Wolfram. Qualcuno ha una soluzione?

[Taraste]

Io no :S sono alle prime armi con analisi!