Seno integrale
Ciao, sono di nuovo io.
Altra domanda, un pò particolare stavolta: un esercizio sul seno integrale.
''determinare la primitiva nulla per $x=0$ della funzione:
$f(x) = (sin x)/x$
dato che la primitiva non è possibile scriverla in funzioni analitiche, uso la serie: $sin(x) = x - x^3/3!$
$\int (x - x^3/3!)/x dx = x - (x^3)/18 + c$
il fatto che dica che sia nulla per $x=0$ mi dice che posso usare quell'approssimazione di taylor? O mi da una condizione alla primitiva per trovare la costante arbitraria?
sono confusissimo anche perchè è facoltativa come domanda!
Altra domanda, un pò particolare stavolta: un esercizio sul seno integrale.
''determinare la primitiva nulla per $x=0$ della funzione:
$f(x) = (sin x)/x$
dato che la primitiva non è possibile scriverla in funzioni analitiche, uso la serie: $sin(x) = x - x^3/3!$
$\int (x - x^3/3!)/x dx = x - (x^3)/18 + c$
il fatto che dica che sia nulla per $x=0$ mi dice che posso usare quell'approssimazione di taylor? O mi da una condizione alla primitiva per trovare la costante arbitraria?
sono confusissimo anche perchè è facoltativa come domanda!
Risposte
Beh, la primitiva nulla in \(0\) è semplicemente:
\[
F(x):= \int_0^x f(t)\ \text{d} t
\]
che è esprimibile come serie di potenze nel modo che segue:
\[
F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)\ (2n+1)!}\ x^{2n+1}\; .
\]
\[
F(x):= \int_0^x f(t)\ \text{d} t
\]
che è esprimibile come serie di potenze nel modo che segue:
\[
F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)\ (2n+1)!}\ x^{2n+1}\; .
\]
ah quindi bisogna rispondere così! bene
c'è un esercizio simile però per 'la primitiva nulla per:
$f(x) = (e^x -1)/x$
viene
$F(x) = \int_[0,x] f(t) dt$
e la risolvo sempre con una serie di potenze?
domanda: ma $1/x$ non è sommabile? $[0,x]$? mi provoca qualche problema?
c'è un esercizio simile però per 'la primitiva nulla per:
$f(x) = (e^x -1)/x$
viene
$F(x) = \int_[0,x] f(t) dt$
e la risolvo sempre con una serie di potenze?
domanda: ma $1/x$ non è sommabile? $[0,x]$? mi provoca qualche problema?
L'integrando \(f\) si sviluppa in serie di Taylor con centro in \(0\), quindi è regolarissimo... Che problemi vuoi che ti dia? 
per $\int 1/x dx = log x$ quindi non ho problemi, anche se pure lui potrebbe essere espanso in serie e cioè:
$1/x = (-1)^(n+1) (x-1)^(n-1) + .....$
mentre per:
$e^x = \sum (x^n)/n!$
mi sto incartando xD
$1/x = (-1)^(n+1) (x-1)^(n-1) + .....$
mentre per:
$e^x = \sum (x^n)/n!$
mi sto incartando xD
Non ho capito cosa hai scritto.
Ad ogni modo, la funzione \(\frac{e^x-1}{x}\) è una funzione analitica e si sviluppa in serie di Taylor intorno ad ogni punto \(x_0\in \mathbb{R}\) (con raggio di convergenza infinito, per altro...); in particolare essa si sviluppa in serie di MacLaurin, giacché dal noto sviluppo dell'esponenziale discende:
\[
\frac{e^x -1}{x} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\ x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!}\ x^{n+1}\; .
\]
Ad ogni modo, la funzione \(\frac{e^x-1}{x}\) è una funzione analitica e si sviluppa in serie di Taylor intorno ad ogni punto \(x_0\in \mathbb{R}\) (con raggio di convergenza infinito, per altro...); in particolare essa si sviluppa in serie di MacLaurin, giacché dal noto sviluppo dell'esponenziale discende:
\[
\frac{e^x -1}{x} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}\ x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)!}\ x^{n+1}\; .
\]
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