Sen x sviluppo in serie
Buona sera ragazzi,
ho un dubbio che può sembrare stupido, ma che mi sta facendo impazzire.
Ho notato che sia sul web che sui libri di testo girano due formule di MacLaurin della funzione $ sin x $ :
- $ (-1^n)x^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+2)) $
- $ (-1^n)x^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+1)) $
di conseguenza anche gli sviluppi del $ cos x $ sono diversi.
Quel'è quello giusto?
Attendo con ansia che mi illuminiate! Grazie
ho un dubbio che può sembrare stupido, ma che mi sta facendo impazzire.
Ho notato che sia sul web che sui libri di testo girano due formule di MacLaurin della funzione $ sin x $ :
- $ (-1^n)x^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+2)) $
- $ (-1^n)x^(2n+1)/((2n+1)!)+o(x^(2n+1)) $
di conseguenza anche gli sviluppi del $ cos x $ sono diversi.
Quel'è quello giusto?
Attendo con ansia che mi illuminiate! Grazie
Risposte
in realtà sono giuste entrambe, ma la prima è più precisa (ti consiglio di usare quella negli esercizi).
Vanno bene tutte e due, dipende fino a quale ordine vuoi sviluppare.
Se devi sviluppare fino all'ordine 3 allora scrivi:
$sinx=x-x^3/6+o(x^3)$
Se devi sviluppare fino all'ordine 4 allora scrivi:
$sinx=x-x^3/6+o(x^4)$
Come vedi gli sviluppi di ordine 3 e 4 sono uguali nei termini ma non negli o-piccoli. Non puoi usare a piacimento quale delle tue ti pare perché se ti si chiede l'ordine 3 allora scrivi la prima, se ti si chiede l'ordine 4 allora scrivi la seconda.
Se devi sviluppare fino all'ordine 3 allora scrivi:
$sinx=x-x^3/6+o(x^3)$
Se devi sviluppare fino all'ordine 4 allora scrivi:
$sinx=x-x^3/6+o(x^4)$
Come vedi gli sviluppi di ordine 3 e 4 sono uguali nei termini ma non negli o-piccoli. Non puoi usare a piacimento quale delle tue ti pare perché se ti si chiede l'ordine 3 allora scrivi la prima, se ti si chiede l'ordine 4 allora scrivi la seconda.
Ho un'altra domanda, per caso l'esponente finale dell'o piccolo ha in qualche modo a che fare con il fatto che la funzione sia pari o dispari? o sono fuori strada?
Grazie mille
Grazie mille
no, il motivo è che il seno si annulla in 0 
No, l'esponente dell'o-piccolo non ha a che fare con la parità della funzione né tantomeno col fatto che il seno si annulli in zero. L'esponente dell'o-piccolo è indipendente dalla funzione e non si può stabilire a priori, ma solo in base a quale ordine ti si chiede di scrivere il polinomio di taylor. Se ti si chiede di scrivere il polinomio di taylor di ordine 5, l'o-piccolo avrà esponente 5, proprio perché la definizione di ordine del polinomio di taylor dice che l'ordine è pari all'esponente dell'o-piccolo. Ciò che dipende dalla parità o disparità della funzione sono invece gli esponenti di termini del polinomio di taylor della funzione, infatti una funzione pari avrà solo termini pari (ma può benissimo avere l'esponente dell'o-piccolo dispari!) mentre una funzione dispari avrò solo termini con esponenti dispari, come nel caso del seno (ma può benissimo avere l'esponente dell'o-piccolo pari!).
"Vulplasir":
No, l'esponente dell'o-piccolo non ha a che fare con la parità della funzione né tantomeno col fatto che il seno si annulli in zero.
Per quale motivo lo sviluppo in serie di Mc lourin del seno può terminare con l' $o(x^(2n+2))$, nonostante il grado più alto sia $2n+1$ ? Il motivo è che il $2n+2$esimo termine della sommatoria si annulla, proprio perché il seno si annulla in 0
Poi al posto dell' $o(x^(2n+2))$ posso scrivere $o(x^(2n+1))$ per una nota proprietà degli o piccoli
No, il grado dell'o-piccolo non ha niente a che fare il grado dell'ultimo termine del polinomio. L'ultimo termine del polinomio può avere grado 5 e l'o-piccolo può benissimo avere grado 10...perché è il grado dell'o-piccolo che quantifica l'ordine del polinomio di taylor, non l'ultimo monomio del polinomio. Quindi scrivere $sinx=x-x^3/6+o(x^3)$ e $sinx=x-x^3/6+o(x^4)$ non è la stessa cosa, il primo è il polinomio di sinx di grado 3, il secondo è quello di grado 4. Quindi quando si scrive il polinomio di taylor di sinx generale, bisogna specificare se quel polinomio è di grado 2n+1 o di grado 2n+2, perché il primo termina con $o(x^(2n+1))$ il secondo con $o(x^(2n+2))$, sebbene in sostanza cambi poco dato che come hai detto la derivata (2n+2)esima di sinx vale zero, ma più che altro è una questione di definizione.
"Vulplasir":
No, il grado dell'o-piccolo non ha niente a che fare il grado dell'ultimo termine del polinomio.
Allora...questa è la formula dello sviluppo di taylor con resto nella forma di Peano da cui deriva lo sviluppo di McLourin del seno:
$f(x)=\sum_{k=0}^{n}f^k(x_0)(x-x_0)^n/(n!)+o((x-x_0)^n)$
In generale, quindi l'esponente più alto coincide col grado dell'o piccolo, ma questo potrebbe nn accadere col seno per il motivo che ho già enunciato.
La domanda di Zabr0, se non ho capito male, è il motivo per cui il seno si possa approssimare in 2 modi diversi nonostante il polinomio sia lo stesso...tu, in pratica, gli hai risposto che si può approssimare in 2 modi diversi...poi non ho mai detto che
$o(x^(2n+1))=o(x^(2n+2))$
tu, in pratica, gli hai risposto che si può approssimare in 2 modi diversi
No, io gli ho risposto che si può approssimare solo in un modo, e questo modo non si può decidere a priori ma dipende da quale grado di approssimazione si chiede, quindi non si può decidere senza altre informazioni quale sia corretta tra $o(x^(2n+1))$ e $o(x^(2n+2))$ (come invece hai detto tu nel tuo primo messaggio, dicendo che la seconda è più precisa), ma bisogna considerare se si chiede l'approssimazione di grado $2n+1$ o l'approssimazione di grado $2n+2$
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