Semplici questioni su spazi funzionali

[amel3]

Scusate c'è una cosa che non mi quadra e non riesco a trovare sui vari libri di analisi e c. Ho visto che la seminorma dello spazio $L^oo(Omega)$ nel sottoinsieme $L^oo(Omega) nn C(Omega)$ è in realtà l'estremo superiore. Ci sono alcune cose che non mi sono chiare. E' richiesto come condizione che $Omega$ sia aperto? Se sì perchè? Inoltre, lo spazio l'estremo superiore è in sostanza la norma nello spazio $C(Omega)$ (perdonate il linguaggio non correttissimo). Ma affinchè sia una norma è richiesto che $Omega$ sia aperto o sono richieste altre condizioni? Cioè in sostanza chiedo intanto in quali casi il sup è la norma nello spazio delle funzioni continue, poi chiedo delucidazioni su questo nel sottoinsieme $L^oo(Omega) nn C(Omega)$.
Grazie mille a chi mi risponderà.

[irenze]

Se pensi a un insieme di punti isolati (tipo $\mathbb{Z}$) puoi farti venire in mente qualunque funzione e quella sarà sempre continua.
Per avere uno spazio di funzioni continue un po' decente devi prendere un insieme con parte interna non vuota, che è "circa un aperto" (prendila con buona approssimazione e con beneficio d'inventario, è solo un modo per darti un'idea intuitiva)

[amel3]

Ah, ok adesso direi che ho capito! Perchè, tu dici, con un aperto ho la sicurezza che non incappo in queste situazioni patologiche. Ora mi sembra chiaro! Grazie, sei stata un angelo! Buona notte e già che ci siamo buona Pasqua!

[irenze]

Anche a te!

[Sk_Anonymous]

"irenze":Beh, per $C(\Omega)$ sì, però se prendi $L^\infty(\Omega) nn C(\Omega)$ l'estremo superiore definisce comunque una seminorma (il problema in $C(\Omega)$ con $\Omega$ illimitato è che la norma del sup non è ben definita perché può essere $+\infty$, ma se prendi funzioni limitate il problema non si pone!!!)

La risposta è tutta qui! Il punto è che, se $\Omega$ non è compatto oppure è illimitato, allora la continuità della $f$ non è sufficiente a garantire che il sup definisca una norma su $C(\Omega)$: la funzione $]0, 1] \to \mathbb{R}: x \to -\ln(x)$, ad esempio, ha estremo superiore pari a $+\infty$; così pure la funzione $\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \to e^x$. Eppure entrambe sono continue nei rispetti insiemi di definizione. Dunque in generale o si ammette che $\Omega$ sia compatto oppure si assume che le funzioni in gioco non siano semplicemente continue in $\Omega$, quando questo è arbitrario, ma pure limitate.

[amel3]

Ok, grazie! Ora ho capito, è che ero andato un po' in confusione tra un libro e un altro... Ciao!