Semplici questioni su spazi funzionali

[amel3]

Scusate c'è una cosa che non mi quadra e non riesco a trovare sui vari libri di analisi e c. Ho visto che la seminorma dello spazio $L^oo(Omega)$ nel sottoinsieme $L^oo(Omega) nn C(Omega)$ è in realtà l'estremo superiore. Ci sono alcune cose che non mi sono chiare. E' richiesto come condizione che $Omega$ sia aperto? Se sì perchè? Inoltre, lo spazio l'estremo superiore è in sostanza la norma nello spazio $C(Omega)$ (perdonate il linguaggio non correttissimo). Ma affinchè sia una norma è richiesto che $Omega$ sia aperto o sono richieste altre condizioni? Cioè in sostanza chiedo intanto in quali casi il sup è la norma nello spazio delle funzioni continue, poi chiedo delucidazioni su questo nel sottoinsieme $L^oo(Omega) nn C(Omega)$.
Grazie mille a chi mi risponderà.

[Sk_Anonymous]

Nell'accezione classica del termine, una seminorma su un K-spazio lineare X, reale o complesso, è una qualunque funzione $\sigma: X \to \mathbb{R}: x \to $||$x$|| tale che, per ogni $x, y \in X$ ed ogni $\alpha \in K$: i) ||x|| $\ge 0$; ii) ||$\alpha x$|| = $|\alpha | \cdot $||x||; iii) ||x + y|| $\le$ ||x|| + ||y||. Quando poi $\sigma(x) = 0$ sse $x = 0$, essendo $x \in X$, si dice che $\sigma$ è una norma su X. Ora... Ammettendo siano $(X, \tau)$ uno spazio topologico qualsiasi ed $\Omega\subseteq X$ non vuoto, denotiamo con $C(\Omega)$ la classe di tutte e sole le funzioni continue $\Omega \to \mathbb{R}$. Per ogni $f \in C(\Omega)$, è corretto allora considerare l'estremo superiore della funzione $\Omega \to \mathbb{R}: x \to |f(x)|$, siccome $|f|(\Omega) \ne \emptyset$. Per inciso, osserviamo che $|f| \in C(\Omega)$, per aver supposto $f \in C(\Omega)$. Viene pertanto naturale domandarsi se l'applicazione - e qui sono volutamente vago! - che ad ogni $f \in C(\Omega)$ associa il sup di $|f|(\Omega)$ definisce o meno una norma su $C(\Omega)$. La risposta, in generale, è negativa, a meno che... A meno che cosa?!

[amel3]

Grazie intanto per avermi risposto. Eh, in effetti hai proprio colto quasi tutti i miei problemi perchè alla tua domanda mi verrebbe in mente di rispondere che $Omega$ debba essere compatto, così da poter usare il teorema di Weierstrass... Però nel libro di Gilardi, una volta supposto che $Omega sub RR^N$, mi parla di $Omega$ come un aperto limitato; mi dice poi che lo spazio delle funzioni continue è lo spazio delle funzioni continue definite non solo sull'aperto $Omega$, ma anche prolungabili sulla chiusura di $Omega$ sempre come funzioni continue...
Ti chiedo:
La risposta data da me è giusta?
Ho ragione a pensare che Gilardi parla di $Omega$ aperto per questioni relative non al fatto della norma, ma ad altre questioni? Se sì, quali?
Ho ragione a pensare che nella definizione di Gilardi si deve necessariamente supporre che $Omega$ sia limitato?
Ciao e grazie!

[irenze]

Semplicemente gli spazi $L^p$ sono definiti su aperti.

[amel3]

Veramente io so che sono definiti su insiemi misurabili secondo Lebesgue...

[irenze]

Si certo però il completamento di $C$([0,1]) è $L^p$(]0,1[)(che coincide con $L^p$([0,1])), dunque ha senso chiedere che $\Omega$ sia limitato (ossia, essendo un sottoinsieme di $\mathbb{R}^n$, che abbia chiusura compatta)

[irenze]

Diciamo che la frontiera, avendo misura nulla, non conta nulla!

[amel3]

Sì, ok grazie! Quindi se ho ben capito quello che avevo intuito era giusto, no? Mi rimane però un dubbio: perchè dover supporre che $Omega$ sia aperto limitato? Non bastava direttamente prendere la sua chiusura compatta?

[irenze]

Beh, per $C(\Omega)$ sì, però se prendi $L^\infty(\Omega) nn C(\Omega)$ l'estremo superiore definisce comunque una seminorma (il problema in $C(\Omega)$ con $\Omega$ illimitato è che la norma del sup non è ben definita perché può essere $+\infty$, ma se prendi funzioni limitate il problema non si pone!!!)

[amel3]

Scusa la mia stupidità, ma non ho capito benissimo (a parte il fatto che mi pare che sullo spazio delle funzioni continue avevo intuito bene...) Cioè perchè $Omega$ deve essere aperto?

[irenze]

Perché è un caso più generale. Se prendi $\Omega$ compatto hai $L^oo(Omega) nn C(Omega)$=$C(\Omega)$, se invece prendi $\Omega$ illimitato o aperto i due spazi $L^oo(Omega) nn C(Omega)$ e $C(\Omega)$ non coincidono.

La seminorma del sup è ben definita, in generale, solo su $L^oo(Omega) nn C(Omega)$.

[amel3]

Ho quasi capito (grazie intanto per la tua disponibilità, meriteresti un regalo! )... Perchè allora però non prendere anzichè un aperto un insieme misurabile qualunque, così da avere un caso ancor più generale?

[irenze]

E come la metti poi con le funzioni continue?!?

[irenze]

E poi, come forse avrai visto, un insieme misurabile è "quasi" un aperto (e anche "quasi" un chiuso)...

[amel3]

In che senso come la metto?

[irenze]

Mi sai dare una definizione di funzione continua su $\mathbb{Q} nn ]0,1[$ (con la topologia indotta da $\mathbb{R}$)?!?

[amel3]

Oddio stai scavando sempre più nelle mie incertezze. Perchè in quel caso non posso dare una funzione continua?

[irenze]

Beh, sì, la puoi sempre dare: controimmagine di un aperto è un aperto.
Solo che ottieni una funzione che su $]0,1[$ può essere arbitrariamente schifosa (noto termine matematico ), e quindi perdi il vantaggio di considerare $C(\Omega)$.

[amel3]

Scusa, ma non riesco a seguirti (se non altro così ti faccio arrivare alla seconda lampadina, e vai! )

[irenze]

Nel caso di $\Omega$ generale puoi dare le stesse definizioni ma perde un po' di senso quello che fai.
Se pensi che una funzione continua (addirittura costante...) su $\mathbb{Q} nn ]0,1[$ è la funzione di Dirichlet...

[amel3]

Cioè tu dici in sostanza: si potrebbe anche prendere $Omega$ misurabile qualsiasi, ma in tal caso si avrebbero enormi difficoltà quando si vanno a studiare le singole funzioni?