Semplice probelma di calcolo variazionale: Euler condition
salve sto svolgendo un problema di calcolo variazionale, e durante il calcolo delle condizioni necessarie del primo ordine mi è sorto un dubbio.
ho una equazione differenziale del tipo
$ 2tx''+2x'=0 $
sostituisco $ x'=u $
ottengo
$ int 1/u dx = -int 1/t dx $
quindi ipotizzando che t>0
$ ln(abs(u))=-ln(t)+c $
ora viene un passaggio che non mi è chiaro ma di cui ho quanto scritto da un professore alla lavagna
$ u=c/t $
mi sarei aspettato $ abs(u)=c/t $ dove ovviamnente c non è più la stessa costante.
allora il mio ragionamento è questo ( riscrivo le formule per intenderci)
$ ln(abs(u))=-ln(t)+c1 $
$ abs(u)=(c2)/t $
dove $ c2=e^(c1) $
poichè c2 è sempre positivo allora sarà inutile inserire il valore assoluto di u quindi la formula precedente potremo scriverla come
$ u=(c2)/t $
dunque procediamo facendo riapparire x e dopo ulterire integrazione ottengo
$x=c2ln(t)+c3 $
il punto è che quando andrò ad imporre le condizioni iniziali dovrò a mio avviso imporre anche una ulteriore condizione ossia che c2>=0 altrimenti il passaggio di eliminazione del valore assoluto non avrebbe senso. nel caso infatti c2 venisse, imponendo le condizioni iniziali, minore di zero cosa dovrò concludere? che una delle condizioni necessarie non è soddisfatta oppure che la Euler condition non è applicabile in questo caso?
Chiedo lumi
ho una equazione differenziale del tipo
$ 2tx''+2x'=0 $
sostituisco $ x'=u $
ottengo
$ int 1/u dx = -int 1/t dx $
quindi ipotizzando che t>0
$ ln(abs(u))=-ln(t)+c $
ora viene un passaggio che non mi è chiaro ma di cui ho quanto scritto da un professore alla lavagna
$ u=c/t $
mi sarei aspettato $ abs(u)=c/t $ dove ovviamnente c non è più la stessa costante.
allora il mio ragionamento è questo ( riscrivo le formule per intenderci)
$ ln(abs(u))=-ln(t)+c1 $
$ abs(u)=(c2)/t $
dove $ c2=e^(c1) $
poichè c2 è sempre positivo allora sarà inutile inserire il valore assoluto di u quindi la formula precedente potremo scriverla come
$ u=(c2)/t $
dunque procediamo facendo riapparire x e dopo ulterire integrazione ottengo
$x=c2ln(t)+c3 $
il punto è che quando andrò ad imporre le condizioni iniziali dovrò a mio avviso imporre anche una ulteriore condizione ossia che c2>=0 altrimenti il passaggio di eliminazione del valore assoluto non avrebbe senso. nel caso infatti c2 venisse, imponendo le condizioni iniziali, minore di zero cosa dovrò concludere? che una delle condizioni necessarie non è soddisfatta oppure che la Euler condition non è applicabile in questo caso?
Chiedo lumi
Risposte
Qual è il problema variazionale?
il problema è il seguente:
OTT $ int_(1)^(e) t*x'^2+x*x' dt $
non sono state indicate condizioni iniziali. ma la mia domanda si riferisce più in generale al caso in cui mi trovassi delle condizioni iniziali tali per cui ricaverei un valore negativo di c2
OTT $ int_(1)^(e) t*x'^2+x*x' dt $
non sono state indicate condizioni iniziali. ma la mia domanda si riferisce più in generale al caso in cui mi trovassi delle condizioni iniziali tali per cui ricaverei un valore negativo di c2
Mah... Senza condizioni che determinano lo spazio delle soluzioni, il problema di minimizzazione è mal posto.
Questa non è una peculiarità del CdV, ma è un fatto di carattere generale.
Pensa alla minimizzazione di \(f(x):=x^2-2\): il risultato è diverso se \(\operatorname{Dom}f\) è \(=[0,1]\), se è \(=\mathbb{R}\), o addirittura se è \(=\mathbb{Q}\).
Senza condizioni aggiuntive, tendo a credere che il problema sia quello di trovare soluzioni classiche, cioè funzioni dello spazio \(C^1([1,e])\), per il problema di minimo o massimo relativo al funzionale assegnato.
Tuttavia si vede facilmente che il problema non ha soluzioni in tale spazio, perché detto \(I[x]\) il funzionale, si ha:
\[
\inf_{x\in C^1} I[x] = -\infty \qquad \text{e}\qquad \sup_{x\in C^1} I[x]=+\infty
\]
(invero, se prendi \(x_n(t):=x+n\) con \(n\in \mathbb{Z}\), vedi che \(\lim_{n\to \pm \infty} I[x_n]=\pm \infty\)).
Cosa diversa se ti viene chiesto di determinare le soluzioni della sola equazione di Eulero-Lagrange associata a \(I\).
Questo si può fare, a meno di costanti arbitrarie, con le tecniche che hai utilizzato sopra.
Ma, ovviamente, nessuna di tali soluzioni è una soluzione del problema variazionale in \(C^1\).
Questa non è una peculiarità del CdV, ma è un fatto di carattere generale.
Pensa alla minimizzazione di \(f(x):=x^2-2\): il risultato è diverso se \(\operatorname{Dom}f\) è \(=[0,1]\), se è \(=\mathbb{R}\), o addirittura se è \(=\mathbb{Q}\).
Senza condizioni aggiuntive, tendo a credere che il problema sia quello di trovare soluzioni classiche, cioè funzioni dello spazio \(C^1([1,e])\), per il problema di minimo o massimo relativo al funzionale assegnato.
Tuttavia si vede facilmente che il problema non ha soluzioni in tale spazio, perché detto \(I[x]\) il funzionale, si ha:
\[
\inf_{x\in C^1} I[x] = -\infty \qquad \text{e}\qquad \sup_{x\in C^1} I[x]=+\infty
\]
(invero, se prendi \(x_n(t):=x+n\) con \(n\in \mathbb{Z}\), vedi che \(\lim_{n\to \pm \infty} I[x_n]=\pm \infty\)).
Cosa diversa se ti viene chiesto di determinare le soluzioni della sola equazione di Eulero-Lagrange associata a \(I\).
Questo si può fare, a meno di costanti arbitrarie, con le tecniche che hai utilizzato sopra.
Ma, ovviamente, nessuna di tali soluzioni è una soluzione del problema variazionale in \(C^1\).
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