Semplice limite di funzione
Salve allora sto riprendendo gli argomenti di analisi perché devo sostenere matematica III 
$ lim_(x -> 1^-) (x^3 +1) / (1-x^2) $
In pratica non ho capito come calcola il segno di infinito sul questo limite.
Se cerco di calcolarlo con gli infinitesimi mi esce per
$ x->1^(-) = - oo $
mentre per
$x -> 1^+ = + oo $
scomponendo numeratore e denominatore con la regola di ruffini
$ lim_(x -> 1^-) ((x+1)(x^2 -x +1))/((x+1)(x-1)) $
semplificando e sostituendo mi trovo sempre -inf sul primo e +inf sul secondo mentre lui porta sul libro $ (x-1) $ al denominatore cambiato di segno cioè $ (1-x) $ , ecco qui mi fermo e non riesco a capire. Vedendo il segno della funzione si capisce che è $ +- oo $ però non capisco come fa i calcoli
Grazie in anticipo
$ lim_(x -> 1^-) (x^3 +1) / (1-x^2) $
In pratica non ho capito come calcola il segno di infinito sul questo limite.
Se cerco di calcolarlo con gli infinitesimi mi esce per
$ x->1^(-) = - oo $
mentre per
$x -> 1^+ = + oo $
scomponendo numeratore e denominatore con la regola di ruffini
$ lim_(x -> 1^-) ((x+1)(x^2 -x +1))/((x+1)(x-1)) $
semplificando e sostituendo mi trovo sempre -inf sul primo e +inf sul secondo mentre lui porta sul libro $ (x-1) $ al denominatore cambiato di segno cioè $ (1-x) $ , ecco qui mi fermo e non riesco a capire. Vedendo il segno della funzione si capisce che è $ +- oo $ però non capisco come fa i calcoli
Grazie in anticipo
Risposte
Cerca di ricopiare con le formule del forum piuttosto che caricare immagini, col tempo le immagini non vengono più caricate e questo fa perdere senso al post.
Un modo può essere ragionare graficamente: $x \to 1^-$ significa "$x$ tende a $1$ da sinistra", ovvero hai che sulla retta reale $1^-$ sta a sinistra di $1$; perciò se cambi il segno devi riflettere simmetricamente dall'altra parte della retta reale, ovvero $-(1^{-})=-1^+$ e dunque risulta $1-x \to 1-1^+=0^+$.
Alternativamente un modo pratico può essere sostituire $1^{-} \approx 0.99$ e fare i conti così.
Perciò è giusto quanto riportato sul libro.
Un modo può essere ragionare graficamente: $x \to 1^-$ significa "$x$ tende a $1$ da sinistra", ovvero hai che sulla retta reale $1^-$ sta a sinistra di $1$; perciò se cambi il segno devi riflettere simmetricamente dall'altra parte della retta reale, ovvero $-(1^{-})=-1^+$ e dunque risulta $1-x \to 1-1^+=0^+$.
Alternativamente un modo pratico può essere sostituire $1^{-} \approx 0.99$ e fare i conti così.
Perciò è giusto quanto riportato sul libro.
"dome88":
Posto un'immagine senza scrivere tutto da capo
sarebbe bene farlo invece perché le immagini dopo qualche tempo non si caricano più e tutto il thread rimarrebbe senza capo
"Mephlip":
Cerca di ricopiare con le formule del forum piuttosto che caricare immagini, col tempo le immagini non vengono più caricate e questo fa perdere senso al post.
Un modo può essere ragionare graficamente: $x \to 1^-$ significa "$x$ tende a $1$ da sinistra", ovvero hai che sulla retta reale $1^-$ sta a sinistra di $1$; perciò se cambi il segno devi riflettere simmetricamente dall'altra parte della retta reale, ovvero $-(1^{-})=-1^+$ e dunque risulta $1-x \to 1-1^+=0^+$.
Alternativamente un modo pratico può essere sostituire $1^{-} \approx 0.99$ e fare i conti così.
Perciò è giusto quanto riportato sul libro.
si non mettevo in dubbio quanto riportato sul libro.
Però non capisco perché appunto cambia il segno. Se sostituisco $1^-$ alla funzione trovo $-oo$
Rifaccio un attimo i calcoli..
Suppongo per una questione di comodità personale, è del tutto indifferente calcolarlo in quel modo o senza cambiare segno; si ha infatti
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3+1}{1-x^2}=\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-x+1}{1-x}=\frac{1}{1-1^-}=\frac{1}{0^+}=+\infty$$
Analogamente
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3+1}{1-x^2}=\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-x+1}{1-x}=\lim_{x \to 1^-} -\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\frac{1}{1^{-}-1}=-\frac{1}{0^-}=-(-\infty)=+\infty$$
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3+1}{1-x^2}=\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-x+1}{1-x}=\frac{1}{1-1^-}=\frac{1}{0^+}=+\infty$$
Analogamente
$$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^3+1}{1-x^2}=\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-x+1}{1-x}=\lim_{x \to 1^-} -\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\frac{1}{1^{-}-1}=-\frac{1}{0^-}=-(-\infty)=+\infty$$
Va bene grazie per le risposte, ci ragiono un attimino, forse devo prendere ancora confidenza con i limiti perché ho fatto analisi I qualche annetto fa e ora mi sono scordato quasi tutto 
Ragazzuoli ma secondo voi faccio bene a ripetere quasi tutto il programma, intendo analisi I e analisi II per fare matematica III? Almeno le cose fondamentali intendo. Però è una faticaccia
$(1-x^2)=(1-x)(x+1)$ e non $(x+1)(x-1)$, hai invertito i segni
"caffeinaplus":
$(1-x^2)=(1-x)(x+1)$ e non $(x+1)(x-1)$, hai invertito i segni
Hai ragione, così mi trovo con i conti.
Salve, mi ricollego a questo post ma sto sempre sbattendo la testa contro questi limiti
Esercizio diverso stesso problema
$ lim_(x -> -1^-) e^((2-x^2)/(1-x^2)) =0 $
Cioè non capisco questo passaggio ovvero perché $ (-1^-)^2 = 1^+ $ Chiedo perdono però non riesco proprio ad arrivarci
Esercizio diverso stesso problema
$ lim_(x -> -1^-) e^((2-x^2)/(1-x^2)) =0 $
Cioè non capisco questo passaggio ovvero perché $ (-1^-)^2 = 1^+ $ Chiedo perdono però non riesco proprio ad arrivarci
La risposta è fondamentalmente la stessa.
Puoi ragionare in modo numerico, infatti $-1^-$ significa "meno $1$ da sinistra" e quindi puoi pensarlo intuitivamente come $-1.01$; perciò, essendo $-1.01$ in valore assoluto più grande di $1$, quando ne fai il quadrato esso è più grande di $1$.
Perciò il quadrato è "più $1$ da destra" e pertanto $(-1^-)^2=1^+$.
Graficamente hai che $-1^-$ sta a sinistra di $-1$ sulla retta reale, dunque il suo quadrato diventa positivo e, sempre per il ragionamento di prima sul fatto che in valore assoluto $-1^-$ è più grande di $1$, hai che il suo quadrato sulla retta reale si ritrova a destra di $1$.
Comunque, a parer mio, in questi casi è sempre meglio usare le scomposizioni: $1-x^2=(1+x)(1-x)$, così non hai dubbi.
Puoi ragionare in modo numerico, infatti $-1^-$ significa "meno $1$ da sinistra" e quindi puoi pensarlo intuitivamente come $-1.01$; perciò, essendo $-1.01$ in valore assoluto più grande di $1$, quando ne fai il quadrato esso è più grande di $1$.
Perciò il quadrato è "più $1$ da destra" e pertanto $(-1^-)^2=1^+$.
Graficamente hai che $-1^-$ sta a sinistra di $-1$ sulla retta reale, dunque il suo quadrato diventa positivo e, sempre per il ragionamento di prima sul fatto che in valore assoluto $-1^-$ è più grande di $1$, hai che il suo quadrato sulla retta reale si ritrova a destra di $1$.
Comunque, a parer mio, in questi casi è sempre meglio usare le scomposizioni: $1-x^2=(1+x)(1-x)$, così non hai dubbi.
"Mephlip":
La risposta è fondamentalmente la stessa.
Puoi ragionare in modo numerico, infatti $-1^-$ significa "meno $1$ da sinistra" e quindi puoi pensarlo intuitivamente come $-1.01$; perciò, essendo $-1.01$ in valore assoluto più grande di $1$, quando ne fai il quadrato esso è più grande di $1$.
Perciò il quadrato è "più $1$ da destra" e pertanto $(-1^-)^2=1^+$.
Graficamente hai che $-1^-$ sta a sinistra di $-1$ sulla retta reale, dunque il suo quadrato diventa positivo e, sempre per il ragionamento di prima sul fatto che in valore assoluto $-1^-$ è più grande di $1$, hai che il suo quadrato sulla retta reale si ritrova a destra di $1$.
Comunque, a parer mio, in questi casi è sempre meglio usare le scomposizioni: $1-x^2=(1+x)(1-x)$, così non hai dubbi.
grazie mille.. non so perchè intendevo $ -1^(-)$ come $-0,99 $ e non $ -1,01 $ un po' di distrazione Facendo la scomposizione dovre avere lo stesso risultato giusto, quindi $(1 + (-1^-))*(1 - (-1^+)) $ = $0^+ * 0^(-) = 0^-$
E' corretto?
Prego!
No, perché è comparso un $-1^+$ nel secondo termine del prodotto?
Non possono venirti due zeri, perché un termine del prodotto ha una somma tra termini di segno concorde al limite.
Hai che
$$\lim_{x\to-1^-} (1+x)(1-x)=(1+(-1^-))(1-(-1^-))=(1-1^-)(1+1^+)=0^-\cdot2^+=0^-$$
No, perché è comparso un $-1^+$ nel secondo termine del prodotto?
Non possono venirti due zeri, perché un termine del prodotto ha una somma tra termini di segno concorde al limite.
Hai che
$$\lim_{x\to-1^-} (1+x)(1-x)=(1+(-1^-))(1-(-1^-))=(1-1^-)(1+1^+)=0^-\cdot2^+=0^-$$
Si infatti madonna che erroracci, vabbè forse è l'ora un po' tarda . Grazie mille davvero
Ancora prego! Tranquillo, sono sicuramente errori di distrazione o comunque niente che non si possa risolvere con un po' di pratica (non c'è nulla di profondo, vedrai che con il giusto allenamento li saprai risolvere benissimo).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo