Semplice domanda sugli integrali

[Raiu1]

salve a tutti ho questo integrale \( \int \sqrt{3x+2} \ \)

So come si risolve ma non so spiegare il motivo per il quale andrebbe portato \(\frac{1}{3}\) fuori dal segno di integrale mi potete dare una mano gentilmente?

[ciampax]

Prova ad effettuare il cambio di variabile $t=3x+2$.

[Raiu1]

forse non mi sono spiegato bene:
Allora l'integrale si può scrivere \( \int 1* \sqrt{3x+2}\ \text{d} x\), so che va risolto per sostituzione in quanto \(1\) è la derivata di \(x\) giusto? Però affinché l'esercizio esca devo porta re fuori dal segno di integrale \(\frac{1}{3}\) in quanto la funzione non è \(x\) ma \(3x+...\).
So che devo portare fuori quel \(\frac{1}{3}\) ma non so il perchè.

[pemaberty]

$ int (3x+2)^(1/2) $

Direi che hai $ 1/3 $ fuori dal segno di integrale perchè la derivata di $3x+2$ è $ 3 $ quindi devi moltiplicare e dividere per $3$ affinche tu possa avere un integrale immediato.

[Raiu1]

ah ok allora avevo intuito bene...
grazie per l'aiuto e scusate se ho aperto questo post un po' stupidotto ma era un dubbio che dovevo togliermi :sorry:

[ciampax]

"Raiu":forse non mi sono spiegato bene:
Allora l'integrale si può scrivere \( \int 1* \sqrt{3x+2}\ \text{d} x\), so che va risolto per sostituzione in quanto \(1\) è la derivata di \(x\) giusto? Però affinché l'esercizio esca devo porta re fuori dal segno di integrale \(\frac{1}{3}\) in quanto la funzione non è \(x\) ma \(3x+...\).
So che devo portare fuori quel \(\frac{1}{3}\) ma non so il perchè.

Forse non mi sono spiegato bene io: se effettui la sostituizione, appare chiaro il perché ti serva $1/3$. La formula di integrazione per sostituzione afferma infatti che se $x=\varphi(t)$ allora, detta $F(t)=f(\varphi(t))$ si ha

$\int f(x)\ dx=\int F(t)\cdot\varphi'(t)\ dt$

che, letta al contrario, ti spiega il perché appaia quel coefficiente, il quale altro non è che $(\varphi^{-1})'=1/{\varphi'}$.